已知圆 $O:x^2+y^2=4$ 与曲线 $C:y=3|x-t|,A(m,n),B(s,p),(m,n,s,p\in\mathbf N^{\ast})$ 为曲线 $C$ 上的两点，使得圆 $O$ 上任意一点到点 $A$ 的距离与到点 $B$ 的距离之比为定值 $k(k>1)$，求 $t$ 的值．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$t=\dfrac{4}{3}$
【解析】
设 $P(x,y)$ 为圆 $O$ 上任意一点，则由题意知 $\dfrac{|PA|}{|PB|}=k$，即 $PA^2=k^2PB^2$，于是 $(x-m)^2+(y-n)^2=k^2[(x-s)^2+(y-p)^2]$．整理得 $x^2+y^2-\dfrac{2(k^2s-m)}{k^2-1}x-\dfrac{2(k^2p-n)}{k^2-1}y=\dfrac{(m^2+n^2)-k^2(s^2+p^2)}{k^2-1}$．因此点 $P$ 的轨迹是一个圆．因为 $P(x,y)$ 为圆上任意一点，所以此圆与圆 $O:x^2+y^2=4$ 必为同一个圆，于是有 $\dfrac{-2(k^2s-m)}{k^2-1}=0,\dfrac{-2(k^2p-n)}{k^2-1}=0,\dfrac{(m^2+n^2)-k^2(s^2+p^2)}{k^2-1}=4$，整理得 $k^2s-m=0,k^2p-n=0$，所以 $\dfrac{(m^2+n^2)-k^2(s^2+p^2)}{k^2-1}=\dfrac{(k^4s^2+k^4p^2)-k^2(s^2+p^2)}{k^2-1}=k^2(s^2+p^2)=4$．因为 $s,p\in\mathbf N^{\ast}$，所以 $s^2\leqslant 1,p^2\leqslant 1$，从而 $k^2=\dfrac{4}{s^2+p^2}\leqslant 2$．又因为 $k>1$，所以 $s=p=1,k^2=2,m=n=2$．因此将 $A(2,2),B(1,1)$ 代入 $y=3|x-t|$，得 $t=\dfrac{4}{3}$．
答案
解析
备注
