已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $2S_n-na_n=n,n\in\mathbf N^{\ast}$，且 $a_2=3$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．标注答案$\{a_n\}=2n-1$解析由 $2S_n-na_n=n$，得 $2S_{n+1}-(n+1)a_{n+1}=n+1$．将上述两式相减，得 $2a_{n+1}-(n+1)a_{n+1}+na_n=1$．所以 $na_n-(n-1)a_{n+1}=1$．① 所以 $(n+1)a_{n+1}-na_{n+2}=1$ ②．① - ②，得 $na_n-2na_{n+1}+na_{n+2}=0$，所以 $a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}$ 故数列 $\{a_n\}$ 为等差数列．又由 $2S_1-a_1=1$ 及 $a_2=3$，得 $a_1=1,\{a_n\}$ 的公差 $d=2$．所以 $a_n=1+2(n-1)=2n-1$．
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设 $b_n=\dfrac{1}{a_n\sqrt{a_{n+1}}+a_{n+1}\sqrt{a_n}}$，$T_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，求使 $T_n>\dfrac{9}{20}$ 成立的最小正整数 $n$ 的值．标注答案$50$解析由（1）知，$b_n=\dfrac{1}{(2n-1)\sqrt{2n+1}+(2n+1)\sqrt{2n-1}}$．所以 ${{b}_{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}\cdot\sqrt{2n+1}\cdot \left( \sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1} \right)}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n-1}\cdot\sqrt{2n+1}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)$
．所以 ${{T}_{n}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)+\cdots +\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} \right)$
．由 $T_n>\dfrac{9}{20}$，得 $\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}})>\dfrac{9}{20}$．所以 $\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}<\dfrac{1}{10},2n+1>100,n\geqslant \dfrac{99}{2}$．所以使 $T_n>\dfrac{9}{20}$ 成立的最小正整数 $n$ 的值为 $50$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
