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  解函数不等式

$[\dfrac{1}{2},+\infty)$

设 $g(x)=(x-2)f(x)+mx^2+2$，则 $g(x)=(x-2)e^x+2mx+2$．当 $x>0$ 时，不等式 $(x-2)f(x)+mx^2+2>0$ 恒成立 $\Leftrightarrow$ 当 $x>0$ 时，$g(x)>0$ 恒成立．因为 $g^\prime(x)=e^x+(x-2)e^x+2m=(x-1)e^x+2m,g^{\prime\prime}(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x$，所以当 $x>0$ 时，$g^{\prime\prime}(x)=xe^x>0,g^\prime(x)=(x-1)e^x+2m$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上为增函数．另由 $g(2)=4m+2>0$，知 $m>-\dfrac{1}{2}$．
① 若 $-\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{2}$，则 $g^{\prime}(0)=-1+2m<0,g^{\prime}(2)=e^2+2m>0$．此时，$g^{\prime}(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内有唯一零点，设为 $x_0$．则 $0<x<x_0$ 时，$g^{\prime}(x)<0$．所以 $g(x)$ 在区间 $[0,x_0]$ 上为减函数，$g(x_0)<g(0)=0$．因此 $-\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{2}$ 不符合要求．
② 若 $m\geqslant \dfrac{1}{2}$，则 $x>0$ 时，$g^{\prime}(x)>g^{\prime}(0)=-1+2m\geqslant 0$．此时 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数．所以 $x>0$ 时 $g(x)>g(0)=0$．因此 $m\geqslant \dfrac{1}{2}$ 符合要求．
由 ①② 得 $m$ 的取值范围为 $[\dfrac{1}{2},+\infty)$．

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  函数的图象与性质

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  函数的零点

略

因为 $x_1,x_2$ 是函数 $f(x)=e^x-mx$ 的两个零点，所以 $e^{x_1}=mx_1,e^{x_2}=mx_2,m(x_1+x_2)=e^{x_1}+e^{x_2},m(x_1-x_2)=e^{x_1}-e^{x_2}$．不妨设 $x_1>x_2$，易知 $m\ne 0$，联立上述两式，消 $m$ 得 $x_1+x_2=\dfrac{(x_1-x_2)(e^{x_1}+e^{x_2})}{e^{x_1}-e^{x_2}}=\dfrac{(x_1-x_2)(e^{x_1-x_2}+1)}{e^{x_1-x_2}-1}$．又由（1）知，对 $m=\dfrac{1}{2}$，当 $x>0$ 时，$g(x)=(x-2)e^x+2mx+2>0$ 恒成立．所以当 $x>0$ 时，$(x-2)e^x+x+2>0$ 恒成立．所以当 $x>0$ 时，$\dfrac{x\left({{e}^{x}}+1 \right)}{{{e}^{x}}-1}-2=\dfrac{x{{e}^{x}}+x-2{{e}^{x}}+2}{{{e}^{x}}-1}=\dfrac{\left(x-2 \right){{e}^{x}}+x+2}{{{e}^{x}}-1}>0$．故 ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2=\dfrac{\left({{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{e}^{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}}+1 \right)}{{{e}^{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}}-1}-2>0,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0$．当 $x_1<x_2$ 时，同理可得，$x_1+x_2>2$．所以 $x_1+x_2>2$．