将前 $12$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,12\}$ 中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数都满足：其中一个数等于另外两数之和，试求不同的分法种数．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
八种
【解析】
设四个子集为 $M_i=(a_i,b_i,c_i),i=1,2,3,4$，其中 $a_i=b_i+c_i,b_i>c_i,i=1,2,3,4$，设 $a_1<a_2<a_3<a_4$，则 $a_4=12,a_1+a_2+a_3+a_4=\dfrac{1}{2}(1+2+\cdots+12)=\dfrac{78}{2}=39$．所以 $a_1+a_2+a_3=27$，故 $3a_3>27$，因此 $10\leqslant a_3\leqslant 11$．若 $a_3=10$，则由 $a_1+a_2=17,a_2<10,2a_2>a_1+a_2=17$，得 $a_2=9,a_1=8$，既有 $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(8,9,10,12)$，再由 $8=b_1+c_1,9=b_2+c_2,10=b_3+c_3,12=b_4+c_4$，必须 $b_4=11,c_4=1$，共得两种情况：$12=11+1,10=7+3,9=5+4,8=6+2$；以及 $12=11+1,10=6+4,9=7+2,8=5+3$，对应于两种分法：\[(12,11,1),(10,7,3),(9,5,4),(8,6,2);\]\[(12,11,1),(10,6,4),(9,7,2),(8,5,3)\]若 $a_3=11$，则 $a_1+a_2=16$，于是 $8<a_2<11$，分别得 $(a_1,a_2)=(6,10),(7,9)$．对于 $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(6,10,11,12)$，得到三种分法：$(12,8,4),(11,9,2),(10,7,3),(6,5,1);(12,9,3),(11,7,4),(10,8,2),(6,5,1);(12,7,5),(11,8,3),(9,5,4),(7,6,1)$．对于 $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(7,9,11,12)$，得到三种分法：$(12,8,4),(11,10,1),(9,6,3),(7,5,2);(12,10,2),(11,6,5),(9,8,1),(7,4,3);(12,10,2),(11,8,3),(9,5,4),(7,6,1)$．因此本题的分组方案共八种．
答案
解析
备注
