已知双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1$，设其实轴端点为 $A_1,A_2$，点 $P$ 是双曲线上不同于 $A_1,A_2$ 的一个动点，直线 $PA_1,PA_2$ 分别与直线 $x=1$ 交于 $M_1,M_2$ 两点．证明：以线段 $M_1M_2$ 为直径的圆必定经过定点．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由已知可设 $A_1(-2,0),A_2(2,0)$，双曲线上的动点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$ 且 $y_0\ne 0$，则 $\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{y_0^2}{3}=1$．因为直线 $PA_1$ 的方程为 $y=\dfrac{y_0}{x_0+2}(x+2)$，直线 $PA_2$ 的方程为 $y=\dfrac{y_0}{x_0-2}(x-2)$，所以 $M_1(1,\dfrac{3y_0}{x_0+2}),M_2(1,\dfrac{-y_0}{x_0-2})$．设以线段 $M_1M_2$ 为直径的圆 $C$ 上的任意一点 $Q(x,y)$，那么由 $\overrightarrow{M_1Q}\cdot\overrightarrow{M_2Q}=0$ 得圆 $C$ 的方程为 $(x-1)(x-1)+(y-\dfrac{3y_0}{x_0+2})(y-\dfrac{-y_0}{x_0-2})=0$．令 $y=0$，代入上述圆方程，得 $(x-1)^2-\dfrac{3y_0^2}{x_0^2-4}=0$．由 $\dfrac{x_0^2}{4}-\dfrac{y_0^2}{3}=1$ 可得 $\dfrac{y_0^2}{x_0^2-4}=\dfrac{3}{4}$，因此有 $(x-1)^2-\dfrac{9}{4}=0$，解得 $x=\dfrac{5}{2}$ 或 $x=-\dfrac{1}{2}$．所以，以线段 $M_1M_2$ 为直径的圆必经过两定点 $(-\dfrac{1}{2},0),(\dfrac{5}{2},0)$．
答案
解析
备注
