题目 设函数 $f(x)=px-\dfrac{p}{x}-2\ln x$． 问题1 若 $f(x)$ 在其定义域内为单调递增函数，求实数 $p$ 的取值范围 答案1 $p\geqslant 1$ 解析1 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x\bigg|x>0\}$．由 $f(x)=px-\dfrac{p}{x}-2\ln x$ 知 $f^\prime(x)=p+\dfrac{p}{x^2}-\dfrac{2}{x}$，要使 $f(x)$ 在其定义域 $(0,+\infty)$ 内为单调递增函数，只须 $f^\prime(x)\geqslant 0$，即 $px^2-2x+p\geqslant 0$ 在 $(0,+\infty)$ 内恒成立．于是 $p\geqslant \dfrac{2x}{x^2+1}$，注意到 $\dfrac{2x}{x^2+1}\leqslant\dfrac{2x}{2x}=1$，等号在 $x=1$ 时成立，即 $\dfrac{2x}{x^2+1}$ 在 $x=1$ 时有最大值 $1$，从而 $p\geqslant 1$． 备注1 问题2 设 $g(x)=\dfrac{2e}{x} $，且 $ p>0 $，若在 $ [1,e] $ 上至少存在一点 $ x_0 $，使得 $ f(x_0)>g(x_0)$ 成立，求实数 $ p$ 的取值范围 答案2 $(\dfrac{4e}{e^2-1},+\infty)$ 解析2 解法一<br/>注意到 $g(x)=\dfrac{2e}{x}$ 在 $[1,e]$ 上是减函数，所以 $g(x)_{\min}=g(e)=2,g(x)_{\max}=g(1)=2e$，即 $g(x)\in[2,2e]$．当 $0<p<1$ 时，由 $x\in[1,e]$，得 $x-\dfrac{1}{x}\geqslant 0$，故 $f(x)=p(x-\dfrac{1}{x})-2\ln x<x-\dfrac{1}{x}-2\ln x<2$，不合题意．当 $p\geqslant 1$ 时，由（1）知 $f(x)$ 在 $[1,e]$ 上是增函数，$f(1)=0<2$．又 $g(x)$ 在 $[1,e]$ 上是减函数，所以原命题等价于 $f(x)_{\max}>g(x)_\min=2,x\in[1,e]$，由 $f(x)_\max=f(e)=p(e-\dfrac{1}{e})-2\ln e>2$，解得 $p>\dfrac{4e}{e^2-1}$．综上，$p$ 的取值范围是 $(\dfrac{4e}{e^2-1},+\infty)$．<br/>解法二<br/>原命题等价于 $f(x)-g(x)>0$ 在 $[1,e]$ 上有解，设 $F(x)=f(x)-g(x)=px-\dfrac{p}{x}-2\ln x-\dfrac{2e}{x}$．因为 $F^\prime(x)=p+\dfrac{p}{x^2}-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2e}{x^2}=\dfrac{px^2+p+2(e-x)}{x^2}>0$，故 $F(x)$ 是增函数，所以 $F(x)_\max=F(e)>0$，解得 $p>\dfrac{4e}{e^2-1}$．所以 $p$ 的取值范围是 $(\dfrac{4e}{e^2-1},+\infty)$． 备注2 问题3 求证：对任意的正整数 $n$，都有 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\ln^2(1+\dfrac{2}{k})<3$ 答案3 略 解析3 令 $g(x)=2\ln x-x+\dfrac{1}{x}$，则由（1）知 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内为单调减函数．由于 $g(1)=0$，故当 $x>1$ 时，有 $g(x)<0$，即 $0<2\ln x<x-\dfrac{1}{x}$．因此，$2\ln\sqrt{1+\dfrac{2}{k}}<\sqrt{1+\dfrac{2}{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{2}{k}}}=\dfrac{2}{\sqrt{k\left(k+2 \right)}}$，即 $\ln(1+\dfrac{2}{k})<\dfrac{2}{\sqrt{k(k+2)}}$，故 $\ln^2(1+\dfrac{2}{k})<\dfrac{4}{k(k+2)}$．于是<br/>$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{{{\ln}^{2}}\left( 1+\dfrac{2}{k} \right)<\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{4}{k\left(k+2 \right)}}=2\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)}}=2\left( 1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2} \right)<3$． 备注3