已知函数 $f(x)=2\cos x(\cos x+\sqrt{3}\sin x)-1,x\in\mathbf R$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（第二试）
【标注】
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求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；标注答案$\bigg[k\pi-\dfrac{\pi}{3},k\pi+\dfrac{\pi}{6}\bigg](k\in\mathbf Z)$解析$f(x)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^2x-1=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\sin(2x+\dfrac{\pi}{6})$．由 $2k\pi-\dfrac{\pi}{2}\leqslant 2x+\dfrac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi+\dfrac{\pi}{2}$，得 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\bigg[k\pi-\dfrac{\pi}{3},k\pi+\dfrac{\pi}{6}\bigg](k\in\mathbf Z)$．
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设点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\cdots,P_n(x_n,y_n),\cdots$ 都在函数 $y=f(x)$ 的图像上，且满足 $x_1=\dfrac{\pi}{6},x_{n+1}-x_n=\dfrac{\pi}{2}(n\in\mathbf N^{\ast})$．求 $y_1+y_2+\cdots+y_{2018}$ 的值．标注答案$0$解析由题设知，$\{x_n\}$ 是首项为 $\dfrac{\pi}{6}$，公差为 $\dfrac{\pi}{2}$ 的等差数列，所以 $x_n=\dfrac{\pi}{6}+(n-1)\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}n-\dfrac{\pi}{3}(n\in\mathbf Z^{\ast})$．从而，$y_n=2\sin (n\pi-\dfrac{\pi}{2})=-2\cos n\pi=2(-1)^{n-1}(n\in\mathbf Z^{\ast})$．故 $y_1+y_2+\cdots+y_{2018}=0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
