题目 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 过点 $M(0,2)$，且右焦点为 $F(2,0)$． 问题1 求椭圆 $C$ 的方程． 答案1 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 解析1 由题意 $b=2,c=2$，所以 $a^2=8$，椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$． 备注1 问题2 过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$．若 $\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{AF},\overrightarrow{PB}=n\overrightarrow{BF}$，求证：$m+n$ 为定值． 答案2 $m+n=-4$ 解析2 设 $A,B,P$ 的坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(0,t)$．由 $\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{AF}$ 知 $x_1=\dfrac{2m}{1+m},y_1=\dfrac{t}{1+m}$．又点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，则 $\dfrac{(\dfrac{2m}{1+m})^2}{8}+\dfrac{(\dfrac{t}{1+m})^2}{4}=1$，整理得 $2m^2+8m-t^2+4=0$．由 $\overrightarrow{PB}=n\overrightarrow{BF}$，同理得到 $2n^2+8n-t^2+4=0$．由于 $A,B$ 不重合，即 $m\ne n$，故 $m,n$ 是二次方程 $2x^2+8x-t^2+4=0$ 的两根，所以 $m+n=-4$，为定值． 备注2 问题3 在（2）的条件下，若点 $P$ 不在椭圆 $C$ 的内部，点 $Q$ 是点 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点，试求三角形 $QAB$ 面积的最小值． 答案3 $\dfrac{16}{3}$ 解析3 依题意，直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{t}=1$，即 $y=-\dfrac{t}{2}(x-2)$，与椭圆 $C$ 的方程联立，消去 $y$ 并整理，得 $(2+t^2)x^2-4t^2x+4t^2-16=0,\delta=16t^4-4(2+t^2)(4t^2-16)=32t^2+128>0$，所以 $x_1+x_2=\dfrac{4t^2}{2+t^2},x_1\cdot x_2=\dfrac{4t^2-16}{2+t^2}$，而 $S_{\triangle QAB}=\dfrac{1}{2}\cdot|2t|\cdot|x_1-x_2|=|t|\cdot|x_1-x_2|$．$S^2_{\triangle QAB}=t^2(x_1-x_2)^2=t^2[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]=t^2[\dfrac{16t^4}{(2+t^2)^2}-\dfrac{16t^2-64}{2+t^2}]=t^2\cdot\dfrac{32t^2+128}{(2+t^2)^2}=32[1-\dfrac{4}{(2+t^2)^2}]$．由已知，点 $P$ 不在椭圆 $C$ 的内部，得 $|t|\geqslant 2$，即 $t^2\geqslant 4$，所以 $S^2_{\triangle QAB}$ 的最小值为 $32\times\dfrac{8}{9}=\dfrac{256}{9}$，故三角形 $QAB$ 面积的最小值为 $\dfrac{16}{3}$． 备注3