设函数 $f(x)=x-\dfrac{2}{x}-a\ln x(a\in\mathbf R,a>0)$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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讨论 $f(x)$ 的单调性；标注答案在 $(0,x_1),(x_2,+\infty)$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减解析$f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，$f^\prime(x)=1+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{a}{x}=\dfrac{x^2-ax+2}{x^2}$．令 $g(x)=x^2-ax+2$，其判别式是 $\delta=a^2-8$．
① 当 $0<a\leqslant 2\sqrt{2}$ 时，$\delta\leqslant 0,f^\prime(x)\geqslant 0$，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
② 当 $a>2\sqrt{2}$ 时，$\delta>0,g(x)=0$ 的两根为 $x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}{2},x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}{2}$．当 $0<x<x_1$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x_1<x<x_2$ 时，$f^\prime(x)<0$；当 $x>x_2$ 时，$f^\prime(x)>0$，故 $f(x)$ 分别在 $(0,x_1),(x_2,+\infty)$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减． -
如果 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$，我们记过点 $A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))$ 的直线斜率为 $k$．问：是否存在 $a$，使得 $k=2-a$？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由．标注答案不存在解析由（1）知，$a>2$．因为 $f\left({{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}\right)+\dfrac{2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}-a\left(\ln {{x}_{1}}-\ln {{x}_{2}} \right)$，所以 $k=1+\dfrac{2}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}-a\dfrac{\ln{{x}_{1}}-\ln {{x}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}$．又由（1）知，$x_1x_2=2$．于是 $k=2-a\cdot\dfrac{\ln {{x}_{1}}-\ln {{x}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}$．若存在 $a$ 使得 $k=2-a$，则 $\dfrac{\ln {{x}_{1}}-\ln {{x}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=1$，即 $\ln x_1-\ln x_2=x_1-x_2$，亦即 ${{x}_{2}}-\dfrac{2}{{{x}_{2}}}+\ln 2-2\ln{{x}_{2}}=0\left( {{x}_{2}}>\sqrt{2} \right)$，再由（1）知，函数 $h(t)=t-\dfrac{2}{t}-2\ln t$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，而 $x_2>\sqrt{2}$，所以 ${{x}_{2}}-\dfrac{2}{{{x}_{2}}}+\ln2-2\ln {{x}_{2}}>\sqrt{2}-\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\ln 2-2\ln \sqrt{2}=0$，这与 ① 式矛盾．故不存在 $a$，使得 $k=2-a$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
