已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1(n\in\mathbf N^{\ast})$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=2^n-1$解析因为 $a_{n-1}=2a_n+1(n\in\mathbf N^{\ast})$，所以 $a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，故有 $\{a_n+1\}$ 是以 $a_1+1=2$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列．所以 $a_n+1=2^n$，即 $a_n=2^n-1$．
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证明：$\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_{n+1}}<\dfrac{n}{2}$．标注答案略解析因为 $\dfrac{a_k}{a_{k+1}}=\dfrac{2^k-1}{2^{k+1}-1}<\dfrac{2^k-1}{2\cdot 2^k-1-1}=\dfrac{2^k-1}{2(2^k-1)}=\dfrac{1}{2},k=1,2,\cdots,n$，所以 $\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots+\dfrac{a_n}{a_{n+1}}<\dfrac{n}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
