已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，并且过点 $P(2,-1)$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$解析由 $\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，得 $\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{a^2-b^2}{a^2}=\dfrac{3}{4}$，即 $a^2=4b^2$，所以椭圆 $C$ 的方程可转化为 $x^2+4y^2=4b^2$．又椭圆 $C$ 过点 $P(2,-1)$，所以 $4+4=4b^2$，得 $b^2=2$，则 $a^2=8$．故椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$．
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设点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，且 $PQ$ 与 $x$ 轴平行，过 $P$ 点作两条直线分别交椭圆 $C$ 于点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$．若直线 $PQ$ 平分 $\angle APB$．求证：直线 $AB$ 的斜率是定值，并求出这个定值．标注答案$k_{AB}=-\dfrac{1}{2}$解析由题意，直线 $PA$ 的斜率存在，设直线 $PA$ 的方程为 $y+1=k(x-2)$，联立 $\begin{cases}
x^2+4y^2=8\\
y=k(x-2)-1\\
\end{cases}$ 得 $(1+4k^2)x^2-8(2k^2+k)x+16k^2+16k-4=0$．所以 $2x_1=\dfrac{16k^2+16k-4}{1+4k^2}$，即 $x_1=\dfrac{8k^2+8k-2}{1+4k^2}$．又直线 $PQ$ 平分 $\angle APB$，即直线 $PA$ 与直线 $PB$ 的斜率互为相反数，设直线 $PB$ 的方程为 $y+1=-k(x-2)$，同理求得 $x_2=\dfrac{8k^2-8k-2}{1+4k^2}$，所以有 $x_1-x_2=\dfrac{16k}{1+4k^2}$．又 $\begin{cases}y_1+1=k(x_1-2)\\
y_2+1=-k(x_2-2)\\
\end{cases}$ 所以 $y_1-y_2=k(x_1+x_2)-4k$．即 $y_1-y_2=k(x_1+x_2)-4k=k\cdot\dfrac{16k^2-4}{1+4k^2}-4k=-\dfrac{8k}{1+4k^2}$，所以直线 $AB$ 的斜率为 $k_{AB}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{\dfrac{-8k}{1+4k^2}}{\dfrac{16k}{1+4k^2}}-\dfrac{1}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
