题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{mx-n}{x}-\ln x,m,n\in\mathbf R$． 问题1 若函数 $f(x)$ 在 $(2,f(2))$ 处的切线与直线 $x-y=0$ 平行，求实数 $n$ 的值； 答案1 $n=6$ 解析1 由 $f^\prime(x)=\dfrac{n-x}{x^2},f^\prime(2)=\dfrac{n-2}{4}$，由于函数在 $(2,f(2))$ 处的切线与直线 $x-y=0$ 平行，故 $\dfrac{n-2}{4}=1$，解得 $n=6$． 备注1 问题2 试讨论函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上的最大值； 答案2 $f(n)=m-1-\ln n$ 解析2 $f^\prime(x)=\dfrac{n-x}{x^2}(x>0)$，由 $ f^\prime(x)<0$ 时，$x>n;f^\prime(x)>0$ 时，$x<n$，所以当 $n\leqslant 1$ 时，$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减，故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最大值为 $f(1)=m-n$；当 $n>1$ 时，$f(x)$ 在 $[1,n)$ 上单调递增，在 $(n,+\infty)$ 上单调递减，故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最大值为 $f(n)=m-1-\ln n$．综上所述，当 $n\leqslant 1$ 时 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上最大值为 $f(1)=m-n$；当 $n>1$ 时，$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上最大值为 $f(n)=m-1-\ln n$． 备注2 问题3 若 $n=1$ 时，函数 $f(x)$ 恰有两个零点 $x_1,x_2(0<x_1<x_2)$，求证：$x_1+x_2>2$． 答案3 略 解析3 函数 $f(x)$ 恰有两个零点 $x_1,x_2(0<x_1<x_2)$，则 $f(x_1)=\dfrac{mx_1-1}{x_1}-\ln x_1=0,f(x_2)=\dfrac{mx_2-1}{x_2}-\ln x_2=0$，可得 $m=\dfrac{1}{x_1}+\ln x_1=\dfrac{1}{x_2}+\ln x_2$．于是 $\dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}=\ln x_2-\ln x_1=\ln\dfrac{x_2}{x_1}$．令 $t=\dfrac{x_2}{x_1}>1$，则 $\ln t=\dfrac{t-1}{tx_1},x_1=\dfrac{t-1}{t\ln t}$，于是 $x_1+x_2=x_1(t+1)=\dfrac{t^2-1}{t\ln t}$，所以 ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2=\dfrac{2\left(\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2t}-\ln t \right)}{\ln t}$．记函数 $h(t)=\dfrac{t^2-1}{2t}-\ln t$，因为 $h^\prime(t)=\dfrac{(t-i)^2}{2t^2}>0$，所以 $h(t)$ 在 $(1,+\infty)$ 上递增，又 $t>1$，故 $h(t)>h(1)=0$．又 $t=\dfrac{x_2}{x_1}>1,\ln t>0$，故 $x_1+x_2>2$ 成立。 备注3