已知函数 $y=3x+\sqrt{x^2-2x}$，求该函数的值域．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$(-\infty,3-2\sqrt{2}]\bigcup[6,+\infty)$
【解析】
令 $u=x-1$，则 $y=3u+3+\sqrt{u^2-1}$，则 $|u|\geqslant 1$．设 $\sqrt{u^2-1}=|u|-t\geqslant 0$，则 $0<t\leqslant |u|_{\min}=1$，且 $|u|=\dfrac{1}{2}(t+\dfrac{1}{t})$．当 $u>0$ 时，$y=\dfrac{3}{2}(t+\dfrac{1}{t})+3+\dfrac{1}{2}(t+\dfrac{1}{t})-t=t+\dfrac{2}{t}+3$．由于 $0<t\leqslant 1$，故函数单调递增，所以 $y\geqslant 1+2+3=6$．当 $u<0$ 时，$y=-\dfrac{3}{2}\left(t+\dfrac{1}{t} \right)+3+\dfrac{1}{2}\left( t+\dfrac{1}{t} \right)-t=-2t+\dfrac{1}{t}+3\le3-2\sqrt{2}$，当且仅当 $t=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即 $x=\dfrac{4-3\sqrt{2}}{4}$ 时取等号．所以函数的值域为 $(-\infty,3-2\sqrt{2}]\bigcup[6,+\infty)$．
答案
解析
备注
