题目 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，直线 $y=2x-1$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $|AB|=\dfrac{8}{9}\sqrt{5}$． 问题1 求椭圆 $C$ 的方程； 答案1 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 解析1 由 $e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $a=\sqrt{2}c=\sqrt{2}b$，所以椭圆的方程为 $x^2+2y^2-2b^2=0$．由 $\begin{cases}x^2+2y^2-2b^2=0\\<br/>y=2x-1\\<br/>\end{cases}$ 得 $9x^2-8x+(2-2b^2)=0$．所以 $\Delta=64-36(2-2b^2)$．由 $|AB|=\dfrac{8}{9}\sqrt{5}$，得 $\sqrt{1+2^2}\dfrac{\sqrt{\Delta}}{9}=\dfrac{8\sqrt{5}}{9}$，即 $b^2=1$．所以椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$． 备注1 问题2 过点 $M(2,0)$ 的直线 $l$（斜率不为零）与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $E,F$（$E$ 在点 $F,M$ 之间），记 $\lambda=\dfrac{S_{\triangle OME}}{S_{\triangle OMF}}$，求 $\lambda$ 的取值范围． 答案2 $0<\lambda<3+2\sqrt{2}$ 且 $\lambda\ne 1$ 解析2 设 $l:x=my+2$，且 $E(x_1,y_1),F(x_2,y_2)$．由 $\begin{cases}x^2+2y^2-2=0\\<br/>x=my+2\\<br/>\end{cases}$ 得 $(m^2+2)y^2+4my+2=0$．所以由 $\Delta>0$，解得 $m^2>2$，且 ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-\dfrac{4m}{{{m}^{2}}+2},{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\dfrac{2}{{{m}^{2}}+2}$．① 由 $\lambda=\dfrac{S_{\triangle OME}}{S_{\triangle OMF}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times OM\times y_1}{\dfrac{1}{2}\times OM \times y_2}$ 得，$y_1=\lambda y_2$．②<br/>由 ①② 得 $\dfrac{\lambda}{{{\left( 1+\lambda \right)}^{2}}}=\dfrac{{{m}^{2}}+2}{8{{m}^{2}}}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4{{m}^{2}}}$．所以 $\dfrac{1}{8}<\dfrac{\lambda}{{{\left( 1+\lambda \right)}^{2}}}<\dfrac{1}{4}$，解得 $0<\lambda<3+2\sqrt{2}$ 且 $\lambda\ne 1$． 备注2