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  数列

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  数列的求和方法

略

$\dfrac{1}{2^k}+\dfrac{1}{2^k+1}+\dfrac{1}{2^k+2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{k+1}-1}<\underbrace{\frac{1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k}}}+\cdots+\frac{1}{{{2}^{k}}}}_{{{2}^{k}个}}=\dfrac{2^k}{2^k}=1$．

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  数列

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  数列极限

略

由（1）知，$\dfrac{1}{2^k}+\dfrac{1}{2^k+1}+\dfrac{1}{2^k+2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{k+1}-1}<1$，故以边长为 $\dfrac{1}{2^k},\dfrac{1}{2^k+1},\dfrac{1}{2^k+2},\cdots,\dfrac{1}{2^{k+1}-1}$ 的正方形可以并排放入底为 $1$，高为 $\dfrac{1}{2^k}$ 的矩形内，而不重叠．取 $k=2,3,4,\cdots$，即得底分别为 $\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^3-1},\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^3+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^4-1},\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^4+1}+\cdots+\dfrac{1}{2^5-1},\cdots$，
高分别为 $\dfrac{1}{2^2},\dfrac{1}{2^3},\dfrac{1}{2^4},\cdots$ 的一系列矩形，这些矩形的底小于 $1$，高的和为 $\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{3}}}+\dfrac{1}{{{2}^{4}}}+\cdots=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\dfrac{1}{{{2}^{2}}}\left( 1-\dfrac{1}{{{2}^{n}}}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}=\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right)<\dfrac{1}{2}$．因此，以 $1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\cdots,\dfrac{1}{n},\cdots$ 为边长的正方形中，除了边长为 $1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}$ 的正方形外，其余的正方形全部可以放入底为 $1$，高为 $\dfrac{1}{2}$ 的矩形中（图中阴影部分）．而边长 $1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}$ 的三个正方形显然可以放入底为 $\dfrac{3}{2}$，高为 $1$ 的矩形为（如图所示）．