设 $O$ 是坐标原点，双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上动点 $M$ 处的切线，交 $C$ 的两条渐近线于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
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求证：$\triangle AOB$ 的面积 $S$ 是定值；标注答案略解析双曲线在 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程为 $\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1$，与渐近线方程联立，得 $A(x_1,y_1)=(\dfrac{a}{\dfrac{x_0}{a}+\dfrac{y_0}{b}},\dfrac{b}{\dfrac{x_0}{a}+\dfrac{y_0}{b}}),B(x_2,y_2)=(\dfrac{a}{\dfrac{x_0}{a}-\dfrac{y_0}{b}},-\dfrac{b}{\dfrac{x_0}{a}-\dfrac{y_0}{b}})$．从而，$S=\dfrac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=|ab|$ 是定值．
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求 $\triangle AOB$ 的外心 $P$ 的轨迹方程．标注答案$a^2x^2-b^2y^2=\dfrac{1}{4}(a^2+b^2)^2$解析由（1）可设 $A(\lambda a,\lambda b),B(\dfrac{a}{\lambda},-\dfrac{b}{\lambda}),P(x,y),\lambda$ 为非零数．由 $|AP|=|OP|=|BP|$，得 $(x-\lambda a)^2+(y-\lambda b)^2=x^2+y^2=(x-\dfrac{a}{\lambda})^2+(y+\dfrac{b}{\lambda})^2$．从而有 $ax+by=\dfrac{\lambda}{2}(a^2+b^2),ax-by=\dfrac{1}{2\lambda}(a^2+b^2)$．上述两式相乘，得 $P$ 的轨迹方程为 $a^2x^2-b^2y^2=\dfrac{1}{4}(a^2+b^2)^2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
