已知椭圆的中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且过点 $(\sqrt{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$．设不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该椭圆交于点 $P$ 和 $Q$，且直线 $OP,PQ,OQ$ 的斜率构成等比例数列，求 $\triangle OPQ$ 面积的取值范围．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛
【标注】
【答案】
$(0,1)$
【解析】
设椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，则 $\begin{cases}
\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{2b^2}=1\\
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2\\
b=1\\
\end{cases}$ 故椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．由题设可知直线 $l$ 的斜率存在且不为 $0$，故可设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m(m\ne 0)$．令 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，则 $x_1\ne x_2$ 且 $x_1x_2\ne 0$．由 $\begin{cases}y=kx+m\\
x^2+4y^2-4=0\\
\end{cases}$ 消去 $y$ 得 $(1+4k^2)x^2+8kmx+4(m^2-1)=0$，则有 $ \Delta=64k^2m^2-16(1+4k^2)(m^2-1)=16(4k^2-m^2+1)>0$，且 $x_1+x_2=\dfrac{-8km}{1+4k^2},x_1x_2=\dfrac{4(m^2-1)}{1+4k^2}$．$y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2.$ 由直线 $OP,PQ,OQ$ 的斜率构成等比数列可得 $\dfrac{y_1}{x_1}\cdot\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2}{x_1x_2}=k^2$，从而 $\dfrac{-8k^2m^2}{1+4k^2}+m^2=0$．由 $m\ne 0$ 得 $k^2=\dfrac{1}{4},k=\pm\dfrac{1}{2}$．由 $\Delta>0$ 及 $x_1x_2\ne 0$，可知 $0<m^2<2$ 且 $m^2\ne 1$．设 $d$ 为点 $O$ 到直线 $l$ 的距离，则 ${{S}_{\triangle OPQ}}=\dfrac{1}{2}d\left| PQ \right|=\dfrac{1}{2}\dfrac{\left| m\right|}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}\sqrt{1+{{k}^{2}}}\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}}\right|=\dfrac{1}{2}\left| m \right|\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{{{m}^{2}}\left( 2-{{m}^{2}} \right)}$，所以 $S_{\triangle OPQ}$ 的取值范围为 $(0,1)$．
\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{2b^2}=1\\
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2\\
b=1\\
\end{cases}$ 故椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．由题设可知直线 $l$ 的斜率存在且不为 $0$，故可设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m(m\ne 0)$．令 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，则 $x_1\ne x_2$ 且 $x_1x_2\ne 0$．由 $\begin{cases}y=kx+m\\
x^2+4y^2-4=0\\
\end{cases}$ 消去 $y$ 得 $(1+4k^2)x^2+8kmx+4(m^2-1)=0$，则有 $ \Delta=64k^2m^2-16(1+4k^2)(m^2-1)=16(4k^2-m^2+1)>0$，且 $x_1+x_2=\dfrac{-8km}{1+4k^2},x_1x_2=\dfrac{4(m^2-1)}{1+4k^2}$．$y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2.$ 由直线 $OP,PQ,OQ$ 的斜率构成等比数列可得 $\dfrac{y_1}{x_1}\cdot\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2}{x_1x_2}=k^2$，从而 $\dfrac{-8k^2m^2}{1+4k^2}+m^2=0$．由 $m\ne 0$ 得 $k^2=\dfrac{1}{4},k=\pm\dfrac{1}{2}$．由 $\Delta>0$ 及 $x_1x_2\ne 0$，可知 $0<m^2<2$ 且 $m^2\ne 1$．设 $d$ 为点 $O$ 到直线 $l$ 的距离，则 ${{S}_{\triangle OPQ}}=\dfrac{1}{2}d\left| PQ \right|=\dfrac{1}{2}\dfrac{\left| m\right|}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}\sqrt{1+{{k}^{2}}}\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}}\right|=\dfrac{1}{2}\left| m \right|\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\sqrt{{{m}^{2}}\left( 2-{{m}^{2}} \right)}$，所以 $S_{\triangle OPQ}$ 的取值范围为 $(0,1)$．
答案
解析
备注
