设 $a\in\mathbf R$，且对任意实数 $b$ 均有 $\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|\geqslant 1$，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$a\geqslant 1$ 或 $a\leqslant -3$
【解析】
解法一
设 $f(x)=x^2+ax+b$，对于 $|b|\geqslant 1\Rightarrow |f(0)|\geqslant 1$，所以只要考虑 $|b|<1$．
（1）当 $-\dfrac{a}{2}\leqslant 0$ 时，即 $a\geqslant 0$，此时函数 $f(x)$ 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 $|b|<1$ 有 $f(1)=1+a+b>f(0)=b$，所以 $f(1)=1+a+b\geqslant 1$，解得 $a\geqslant 1$．
（2）当 $0<-\dfrac{a}{2}\leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，即 $-1\leqslant a<0$，此时函数 $f(x)$ 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对 $b=0$ 有 $|f(1)|=|1+a|<1,|f(-\dfrac{a}{2})|=|\dfrac{-a^2}{4}|<1$．
（3）当 $\dfrac{1}{2}<-\dfrac{a}{2}\leqslant 1$ 时，即 $-2\leqslant a<-1$，此时函数 $f(x)$ 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对 $b=0$ 有 $|f(0)|=|b|<1,|f(-\dfrac{a}{2})|=|\dfrac{-a^2}{4}|<1$
（4）当 $-\dfrac{a}{2}\geqslant 1$ 时，即 $a\leqslant 2$，此时函数 $f(x)$ 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 $|b|<1$ 有 $|f(0)|=|b|<1$，所以 $f(1)=1+a+b\leqslant -1$，解得 $a\leqslant -3$．
综上 $a\geqslant 1$ 或 $a\leqslant -3$．
解法二
设 $m=\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|$，则有 $m\geqslant |b|$，$m\geqslant |1+a+b|\Rightarrow 2m\geqslant |b|+|1+a+b|\geqslant |1+a|$．依题意，$\dfrac{|1+a|}{2}\geqslant 1\Rightarrow a\geqslant 1$，或 $a\leqslant -3$．
设 $f(x)=x^2+ax+b$，对于 $|b|\geqslant 1\Rightarrow |f(0)|\geqslant 1$，所以只要考虑 $|b|<1$．
（1）当 $-\dfrac{a}{2}\leqslant 0$ 时，即 $a\geqslant 0$，此时函数 $f(x)$ 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 $|b|<1$ 有 $f(1)=1+a+b>f(0)=b$，所以 $f(1)=1+a+b\geqslant 1$，解得 $a\geqslant 1$．
（2）当 $0<-\dfrac{a}{2}\leqslant \dfrac{1}{2}$ 时，即 $-1\leqslant a<0$，此时函数 $f(x)$ 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对 $b=0$ 有 $|f(1)|=|1+a|<1,|f(-\dfrac{a}{2})|=|\dfrac{-a^2}{4}|<1$．
（3）当 $\dfrac{1}{2}<-\dfrac{a}{2}\leqslant 1$ 时，即 $-2\leqslant a<-1$，此时函数 $f(x)$ 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对 $b=0$ 有 $|f(0)|=|b|<1,|f(-\dfrac{a}{2})|=|\dfrac{-a^2}{4}|<1$
（4）当 $-\dfrac{a}{2}\geqslant 1$ 时，即 $a\leqslant 2$，此时函数 $f(x)$ 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 $|b|<1$ 有 $|f(0)|=|b|<1$，所以 $f(1)=1+a+b\leqslant -1$，解得 $a\leqslant -3$．
综上 $a\geqslant 1$ 或 $a\leqslant -3$．
解法二
设 $m=\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|$，则有 $m\geqslant |b|$，$m\geqslant |1+a+b|\Rightarrow 2m\geqslant |b|+|1+a+b|\geqslant |1+a|$．依题意，$\dfrac{|1+a|}{2}\geqslant 1\Rightarrow a\geqslant 1$，或 $a\leqslant -3$．
答案
解析
备注
