已知二次函数 $f(x)=x^2-16x+p+3$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（A卷）
【标注】
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若函数在区间 $[-1,1]$ 上存在零点，求实数 $p$ 的取值范围；标注答案$-20\leqslant p\leqslant 12$解析因为二次函数 $f(x)=x^2-16x+p+3$ 的对称轴是 $x=8$，所以函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上单调递减，则函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上存在零点需满足 $f(-1)\cdot f(1)\leqslant 0$．即 $(1+16+p+3)(1-16+p+3)\leqslant 0$ 解得 $-20\leqslant p\leqslant 12$．
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问是否存在常数 $q(q\geqslant 0)$，使得当 $x\in[q,10]$ 时，$f(x)$ 的值域为区间 $D$，且 $D$ 的长度为 $12-q$．（注：区间 $[a,b](a<b)$ 的长度为 $b-a$）．标注答案$q=8,q=9$ 或 $q=\dfrac{15-\sqrt{17}}{2}$解析假设存在常数 $q(q\geqslant 0)$ 满足题意，分三种情况求解：
① 当 $\begin{cases}
q<8\\
8-q\geqslant 10-8\\
q\geqslant 0\\
\end{cases}$ 即 $0\leqslant q\leqslant 6$ 时，当 $x=8$ 时，取到最小值 $f(8)$；当 $x=q$ 时，取到最大值 $f(q)$，所以 $f(x)$ 的值域为 $[f(8),f(q)]$，即 $[p-61,q^2-16q+p+3]$．所以区间长度为 $q^2-16q+p+3-(p-61)=q^2-16q+64=12-q$．故 $q^2-15q+52=0$，所以 $q=\dfrac{15\pm\sqrt{17}}{2}$，经检验 $q=\dfrac{15+\sqrt{17}}{2}$ 不合题意，舍去，故 $q=\dfrac{15-\sqrt{17}}{2}$．
② 当 $\begin{cases}
q<8\\
8-q<10-8\\
q\geqslant 0\\
\end{cases}$ 即 $6\leqslant q<8$ 时，当 $x=8$ 时，取到最小值 $f(8)$；当 $x=10$ 时，取到最大值 $f(10)$，所以 $f(x)$ 的值域为 $[f(8),f(10)]$，即 $[p-61,p-57]$．所以区间长度为 $p-57-(p-61)=4=12-q$．故 $q=8$，经检验 $q=8$ 不合题意，舍去．
③ 当 $q\geqslant 8$ 时，函数 $f(x)$ 在 $[q,10]$ 上单调递增，所以 $f(x)$ 的值域为 $[f(q),f(10)]$，即 $[q^2-16q+p+3,p-57].$ 所以区间长度为 $p-57-(q^2-16q+p+3)=-q^2-16q-60=12-q$，所以 $q^2-17q+72=0$，故 $q=8$ 或 $q=9$．经检验 $q=8$ 或 $q=9$ 满足题意．
综上知，存在常数 $q=8,q=9$ 或 $q=\dfrac{15-\sqrt{17}}{2}$ 使得当 $x\in[q,10]$ 时，$f(x)$ 的值域为区间 $D$，且 $D$ 的长度为 $12-q$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
