化简 $\dfrac{\sin 4\alpha}{4\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据三角恒等变换公式可以得到
$4\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=4\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=
4cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=2sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\alpha\right)=
2cos2\alpha$
原式 $=\dfrac{sin4\alpha}{2cos2\alpha}=sin2\alpha$
$4\sin^{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=4\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=
4cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=2sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\alpha\right)=
2cos2\alpha$
原式 $=\dfrac{sin4\alpha}{2cos2\alpha}=sin2\alpha$
题目
答案
解析
备注
