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已知直线 $AB$ 与抛物线 $y^{2}=4x$ 交于 $A$、$B$ 两点，$M$ 为 $AB$ 的中点，$C$ 为抛物线上一个动点，若 $C_{0}$ 满足 $\overrightarrow{C_{0}A}\cdot \overrightarrow{C_{0}B}=\min\left\{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}\right\}$，则下列结论中一定成立的是 \((\qquad)\)
A: $C_{0}M\perp AB$
B: $C_{0}M\perp l$，其中 $l$ 是抛物线过 $C_{0}$ 的切线
C: $C_{0}A\perp C_{0}B$
D: $C_{0}M\perp \dfrac{1}{2}AB$
【难度】
【出处】
2013年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
\[\begin{split}\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}&=\left(\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{AM}\right)\cdot \left(\overrightarrow {CM}-\overrightarrow{BM}\right)\\&=\left|\overrightarrow{CM}\right|^{2}-\overrightarrow{CM}\cdot \left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}\\&=\left|\overrightarrow{CM}\right|^{2}-\left|\overrightarrow{AM}\right|^{2}.\end{split}\]所以 $\min\left\{\overrightarrow {CA}\cdot \overrightarrow{CB}\right\}=\left|\overrightarrow{CM}\right|_{\min}$，即 $CM\perp l$．
题目 答案 解析 备注
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