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若三位数 $\overline{abc}$ 被 $7$ 整除，且 $a,b,c$ 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有 \((\qquad)\) 个．
A: $4$
B: $6$
C: $7$
D: $8$
【难度】
【出处】
2013年浙江省高中数学竞赛
【标注】
  • 知识点
    >
    数论初步
    >
    整除与同余
【答案】
D
【解析】
设三位数为 $\overline{(b-d)b(b+d)}=111b-99d$（$0<b<9$，$-9<d<9$，$d\ne 0$），由 $111b-99d$ 可以被 $7$ 整除，得 $b+d$ 可以被 $7$ 整除，因此可得 $b=1$，$d=-1$；$b=2$，$d=-2$；$b=3$，$d=-3$；$b=4$，$d=3,-4$；$b=5$，$d=2$；$b=6$，$d=1$；$b=8$，$d=-1$．所以，所有的三位数为 $201$，$420$，$630$，$147$，$840$，$357$，$567$，$987$．
题目 答案 解析 备注
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