${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}$ 是方程 $\sqrt{2014}{{x}^{3}}-4029{{x}^{2}}+2\text{=}0$ 的三个实根。求 ${{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{3}} \right)$
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
002
【解析】
用 $n$ 替代 $2014$，则 $\sqrt{n}{{x}^{3}}-\left(1+2n\right){{x}^{2}}+2\text{=}\sqrt{n}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2n{{x}^{2}}+2\text{=}{{x}^{2}}\left(\sqrt{n}x-1 \right)-2\left( n{{x}^{2}}-1 \right)\text{=}0$ 。 ${{x}^{2}}\left(\sqrt{n}x-1 \right)-2\left( n{{x}^{2}}-1 \right)\text{=}\left( \sqrt{n}x-1\right)\left( {{x}^{2}}-2\left( \sqrt{n}x+1 \right) \right)$，故 $x\text{=}\frac{1}{\sqrt{n}}$ 是方程的一个根，另两根为 ${{x}^{2}}-2\sqrt{n}x-2$ 的根。代入 $2014$ 并根据韦达定理，${{x}_{2}}\text{=}\frac{1}{\sqrt{2014}}\text{,}{{x}_{1}}+{{x}_{3}}\text{=}2\sqrt{2014}$，则 ${{x}_{2}}\left({{x}_{1}}+{{x}_{3}} \right)\text{=}002$
答案
解析
备注
