数列 $101,104,109,116,…$ 的通项是 ${{a}_{n}}=100+{{n}^{2}}$，其中 $n=1 ,2 ,3 ,\cdots $，对于每一个 $n$，用 ${{d}_{n}}$
表示 ${{a}_{n}}$ 与 ${{a}_{n+1}}$ 的最大公约数，求 ${{d}_{n}}$ 的最大值，其中 $n$ 取一切正整数．
表示 ${{a}_{n}}$ 与 ${{a}_{n+1}}$ 的最大公约数，求 ${{d}_{n}}$ 的最大值，其中 $n$ 取一切正整数．
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
401
【解析】
因为 ${{d}_{n}}=\left(100+{{n}^{2}} ,100+{{\left( n+1 \right)}^{2}} \right)=\left( 100+{{n}^{2}}, 2n+1 \right)$
$=\left( 2\left( 100+{{n}^{2}}\right) ,2n+1 \right)=\left( 200-n ,2n+1 \right)$
$=\left( 200-n ,401 \right)$．
所以，当 $n=200$ 时，${{d}_{n}}$ 最大，最大值为 ${{d}_{200}}=401$．
$=\left( 2\left( 100+{{n}^{2}}\right) ,2n+1 \right)=\left( 200-n ,2n+1 \right)$
$=\left( 200-n ,401 \right)$．
所以，当 $n=200$ 时，${{d}_{n}}$ 最大，最大值为 ${{d}_{200}}=401$．
答案
解析
备注
