我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，$AC\perp BC$，若 $A_1A=AB=2$，当阳马 $B-A_1ACC_1$ 体积最大时，则堑堵 $ABC-A_1B_1C_1$ 的外接球的体积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $AC=x,BC=y$，由题意得 $x＞0,y＞0,x^2+y^2=4$，
∵当阳马 $B-A_1ACC_1$ 体积最大，
∴ $V=\dfrac{1}{3}\times 2x\times y=\dfrac{2}{3}xy$ 取最大值，
∵ $xy≤\dfrac{x^2+y^2}{2}=2$，当且仅当 $x=y=\sqrt{2}$ 时，取等号，
∴当阳马 $B-A_1ACC_1$ 体积最大时，$AC=BC=\sqrt{2}$，
以 $CA、CB、CC_1$ 为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵 $ABC-A_1B_1C_1$ 的外接球，
∴堑堵 $ABC-A_1B_1C_1$ 的外接球的半径 $R=\sqrt{2}$，
∴堑堵 $ABC-A_1B_1C_1$ 的外接球的体积 $V=\dfrac{4}{3}\pi\times (\sqrt{2})^3=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\pi$
∵当阳马 $B-A_1ACC_1$ 体积最大，
∴ $V=\dfrac{1}{3}\times 2x\times y=\dfrac{2}{3}xy$ 取最大值，
∵ $xy≤\dfrac{x^2+y^2}{2}=2$，当且仅当 $x=y=\sqrt{2}$ 时，取等号，
∴当阳马 $B-A_1ACC_1$ 体积最大时，$AC=BC=\sqrt{2}$，
以 $CA、CB、CC_1$ 为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵 $ABC-A_1B_1C_1$ 的外接球，
∴堑堵 $ABC-A_1B_1C_1$ 的外接球的半径 $R=\sqrt{2}$，
∴堑堵 $ABC-A_1B_1C_1$ 的外接球的体积 $V=\dfrac{4}{3}\pi\times (\sqrt{2})^3=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\pi$
题目
答案
解析
备注
