$\begin{cases}{\dfrac{x^{2}}{2^{2}-1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{2^{2}-3^{2}}+\dfrac{z^{2}}{2^{2}-5^{2}}+\dfrac{w^{2}}{2^{2}-7^{2}}=1} \\ {\dfrac{x^{2}}{4^{2}-1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{4^{2}-3^{2}}+\dfrac{z^{2}}{4^{2}-5^{2}}+\dfrac{w^{2}}{4^{2}-7^{2}}=1} \\ {\dfrac{x^{2}}{6^{2}-1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{6^{2}-3^{2}}+\dfrac{z^{2}}{6^{2}-5^{2}}+\dfrac{w^{2}}{6^{2}-7^{2}}=1} \\ {\dfrac{x^{2}}{8^{2}-1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{8^{2}-3^{2}}+\dfrac{z^{2}}{8^{2}-5^{2}}+\dfrac{w^{2}}{8^{2}-7^{2}}=1}\end{cases}.$
求 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\omega }^{2}}$ 的值．
求 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\omega }^{2}}$ 的值．
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
36
【解析】
$x y z \omega $ 能满足给定的方程组，等价于 $t=4,16,36,64$ 满足
$\dfrac{{{x}^{2}}}{t-1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{t-9}+\dfrac{{{z}^{2}}}{t-25}+\dfrac{{{\omega}^{2}}}{t-49}=1$．（2-11）
以分母中各式遍乘式（2-11）两边，可知，对于有意义的 $t$（即 $t\ne 1 \\ 9 25 49$）来说，（2-11）等价于多项式方程
$\left( t-1\right)\left( t-9 \right)\left( t-25 \right)\left( t-49 \right)-{{x}^{2}}\left(t-9 \right)\left( t-25 \right)\left( t-49 \right)-{{y}^{2}}\left( t-1\right)\left( t-25 \right)\left( t-49 \right)$
$-{{z}^{2}}\left( t-1 \right)\cdot \left( t-9\right)\left( t-49 \right)-{{\omega }^{2}}\left( t-1 \right)\left( t-9\right)\left( t-25 \right)=0$．（2-12）
式（2-12）左端是 $t$ 的四次多项式．因为 $t=4,16,36,64$ 是这个方程式的四个上已知根，而四次多项式至多有四个根，所以这些根就是方程（2-12）的全部根．可见，（2-12）等价于
$\left( t-4 \right)\left(t-16 \right)\left( t-36 \right)\left( t-64 \right)=0$．（2-13）
在（2-12）和（2-13）中，${{t}^{4}}$ 的系数都是1，所以 $t$ 的其他各次幂的系数也应该相同，特别是，两方程中 ${{t}^{3}}$ 的系数应相等．由根与系数关系及比较系数得
$1+9+25+49+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\omega}^{2}}=4+16+36+64$．
由此求出 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\omega}^{2}}=36$．
$\dfrac{{{x}^{2}}}{t-1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{t-9}+\dfrac{{{z}^{2}}}{t-25}+\dfrac{{{\omega}^{2}}}{t-49}=1$．（2-11）
以分母中各式遍乘式（2-11）两边，可知，对于有意义的 $t$（即 $t\ne 1 \\ 9 25 49$）来说，（2-11）等价于多项式方程
$\left( t-1\right)\left( t-9 \right)\left( t-25 \right)\left( t-49 \right)-{{x}^{2}}\left(t-9 \right)\left( t-25 \right)\left( t-49 \right)-{{y}^{2}}\left( t-1\right)\left( t-25 \right)\left( t-49 \right)$
$-{{z}^{2}}\left( t-1 \right)\cdot \left( t-9\right)\left( t-49 \right)-{{\omega }^{2}}\left( t-1 \right)\left( t-9\right)\left( t-25 \right)=0$．（2-12）
式（2-12）左端是 $t$ 的四次多项式．因为 $t=4,16,36,64$ 是这个方程式的四个上已知根，而四次多项式至多有四个根，所以这些根就是方程（2-12）的全部根．可见，（2-12）等价于
$\left( t-4 \right)\left(t-16 \right)\left( t-36 \right)\left( t-64 \right)=0$．（2-13）
在（2-12）和（2-13）中，${{t}^{4}}$ 的系数都是1，所以 $t$ 的其他各次幂的系数也应该相同，特别是，两方程中 ${{t}^{3}}$ 的系数应相等．由根与系数关系及比较系数得
$1+9+25+49+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\omega}^{2}}=4+16+36+64$．
由此求出 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{\omega}^{2}}=36$．
答案
解析
备注
