若实数 $a$，$b$，$x$ 和 $y$ 满足方程组 $\begin{cases}
ax+by=3 \\
a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}=7 \\
a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}}=16 \\
a{{x}^{4}}+b{{y}^{4}}=42. \\
\end{cases}.$ 求 $a{{x}^{5}}+b{{y}^{5}}$．
ax+by=3 \\
a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}=7 \\
a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}}=16 \\
a{{x}^{4}}+b{{y}^{4}}=42. \\
\end{cases}.$ 求 $a{{x}^{5}}+b{{y}^{5}}$．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
$20$
【解析】
因为 $a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}}=\left( a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}} \right)\left(x+y \right)-\left( ax+by \right)xy$，
所以 $16=7\left( x+y\right)-3xy$．（1）
因为 $a{{x}^{4}}+b{{y}^{4}}=\left(a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}} \right)\left( x+y \right)-\left( a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}\right)xy$，
所以 $42=16\left( x+y\right)-7xy$．（2）
由（1）和（2）解得 $x+y=-14$，$xy=-38$．
所以 $a{{x}^{5}}+b{{y}^{5}}=\left(a{{x}^{4}}+b{{y}^{4}} \right)\left( x+y \right)-\left( a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}}\right)xy$
$=42\times\left( -14 \right)-16\times \left( -38 \right)=20$．
所以 $16=7\left( x+y\right)-3xy$．（1）
因为 $a{{x}^{4}}+b{{y}^{4}}=\left(a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}} \right)\left( x+y \right)-\left( a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}\right)xy$，
所以 $42=16\left( x+y\right)-7xy$．（2）
由（1）和（2）解得 $x+y=-14$，$xy=-38$．
所以 $a{{x}^{5}}+b{{y}^{5}}=\left(a{{x}^{4}}+b{{y}^{4}} \right)\left( x+y \right)-\left( a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}}\right)xy$
$=42\times\left( -14 \right)-16\times \left( -38 \right)=20$．
答案
解析
备注
