计算下式的值：
$\dfrac{\left( {{10}^{4}}\text{+}324 \right)\left( {{22}^{4}}+324 \right)\left( {{34}^{4}}+324 \right)\left( {{46}^{4}}+324 \right)\left( {{58}^{4}}+324 \right)}
{\left( {{4}^{4}}+324 \right)\left( {{16}^{4}}+324 \right)\left( {{28}^{4}}+324 \right)\left( {{40}^{4}}+324 \right)\left( {{52}^{4}}+324 \right)}$．
$\dfrac{\left( {{10}^{4}}\text{+}324 \right)\left( {{22}^{4}}+324 \right)\left( {{34}^{4}}+324 \right)\left( {{46}^{4}}+324 \right)\left( {{58}^{4}}+324 \right)}
{\left( {{4}^{4}}+324 \right)\left( {{16}^{4}}+324 \right)\left( {{28}^{4}}+324 \right)\left( {{40}^{4}}+324 \right)\left( {{52}^{4}}+324 \right)}$．
【难度】
【出处】
1987年第5届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
373
【解析】
注意到 $324=4\times 81=4\times {{3}^{4}}$，于是本题中分子、分母的各因式均为 ${{x}^{4}}+4{{y}^{4}}$ 的形状，为此我们先研究 ${{x}^{4}}+4{{y}^{4}}$ 的因式分解
${{x}^{4}}+4{{y}^{4}}={{\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left( 2xy \right)}^{2}}$
$=\left[ \left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\right)-2xy \right]\left[ \left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)+2xy \right]$
$=\left[ {{\left( x-y\right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\right]$．
具体到本题 ${{n}^{2}}+324=\left[{{\left( n-3 \right)}^{2}}+9 \right]\left[ {{\left( n+3 \right)}^{2}}+9\right]$，所以
原式 $=\frac{\left({{7}^{2}}+9 \right)\left( {{13}^{2}}+9 \right)\left( {{19}^{2}}+9 \right)\cdots\left( {{55}^{2}}+9 \right)\left( {{61}^{2}}+9 \right)}{\left( {{1}^{2}}+9\right)\left( {{7}^{2}}+9 \right)\left( {{13}^{2}}+9 \right)\cdots \left({{49}^{2}}+9 \right)\left( {{55}^{2}}+9 \right)}$
$=\frac{{{61}^{2}}+9}{{{1}^{2}}+9}=\frac{3730}{10}=373$．
${{x}^{4}}+4{{y}^{4}}={{\left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\right)}^{2}}-{{\left( 2xy \right)}^{2}}$
$=\left[ \left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\right)-2xy \right]\left[ \left( {{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)+2xy \right]$
$=\left[ {{\left( x-y\right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\right]$．
具体到本题 ${{n}^{2}}+324=\left[{{\left( n-3 \right)}^{2}}+9 \right]\left[ {{\left( n+3 \right)}^{2}}+9\right]$，所以
原式 $=\frac{\left({{7}^{2}}+9 \right)\left( {{13}^{2}}+9 \right)\left( {{19}^{2}}+9 \right)\cdots\left( {{55}^{2}}+9 \right)\left( {{61}^{2}}+9 \right)}{\left( {{1}^{2}}+9\right)\left( {{7}^{2}}+9 \right)\left( {{13}^{2}}+9 \right)\cdots \left({{49}^{2}}+9 \right)\left( {{55}^{2}}+9 \right)}$
$=\frac{{{61}^{2}}+9}{{{1}^{2}}+9}=\frac{3730}{10}=373$．
答案
解析
备注
