已知集合 $S=\{1,2,3,\cdots,3n\}$，$n$ 是正整数，$T$ 是 $S$ 的子集，满足：对任意的 $x,y,z\in T$（其中 $x,y,z$ 可以相同）都有 $x+y+z\not\in T$，求所有这种集合 $T$ 的元素个数的最大值．
【难度】
【出处】
2008中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
若取 $T_0=\{n+1,n+2,\cdots,3n\}$，此时 $|T_0|=2n$，且 $T_0$ 中任三数之和大于 $3n$，即不在 $T_0$ 中，故 $\max|T|\geqslant 2n$．
另一方面，作三元子集列 $A_0=\{n,2n,3n\},A_k=\{k,2n-k,2n+k\},k=1,2,\cdots,n-1$
则 $S=\bigcup_{k=0}^{n-1}A_k$，对于 $S$ 的任一个 $2n+1$ 元子集 $T^\prime$，必包含有某个 $A_k$．
若 $A_0\subset T^\prime$，则其中有元素 $3n=n+n+n$；
若某个 $A_k\subset T^\prime,k\in\{1,2,\cdots,n-1\}$，则其中必有元素 $2n+k=k+k+(2n-k)$，于是 $\max|T|<2n+1$，因此 $\max|T|=2n$．
另一方面，作三元子集列 $A_0=\{n,2n,3n\},A_k=\{k,2n-k,2n+k\},k=1,2,\cdots,n-1$
则 $S=\bigcup_{k=0}^{n-1}A_k$，对于 $S$ 的任一个 $2n+1$ 元子集 $T^\prime$，必包含有某个 $A_k$．
若 $A_0\subset T^\prime$，则其中有元素 $3n=n+n+n$；
若某个 $A_k\subset T^\prime,k\in\{1,2,\cdots,n-1\}$，则其中必有元素 $2n+k=k+k+(2n-k)$，于是 $\max|T|<2n+1$，因此 $\max|T|=2n$．
答案
解析
备注
