一副纸牌共 $52$ 张，其中"方块"，"梅花"，"红心"，"黑桃"每种花色的牌各 $13$ 张，标号依次是 $2,3,\cdots,10$，$J,Q,K,A$，其中相同花色，相邻标号的两张牌称为"同花顺牌"，并且 $A$ 与 $2$ 也算是顺牌（即 $A$ 可以当 $1$ 使用）．试确定，从这副牌中取出 $13$ 张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含"同花顺牌"的取牌方法数．
【难度】
【出处】
2006中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先一般化为下述问题：设 $n\geqslant 3$，从
$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n),B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$
$C=(c_1,c_2,\cdots,c_n),D=(d_1,d_2,\cdots,d_n)$
这四个数列中选取 $n$ 个项，且满足：
（i）$1,2,\cdots,n$ 每个下标都出现；
（ii）下标相邻的任两项不在同一个数列中（下标 $n$ 与 $1$ 视为相邻），其选取方法数记为 $x_n$．
今确定 $x_n$ 的表达式：
将一个圆盘分成 $n$ 个扇形格，顺次编号为 $1,2,\cdots,n$，并将数列 $A,B,C,D$ 各染一种颜色，对于任一个选项方案，如果下标为 $i$ 的项取自某颜色数列，则将第 $i$ 号扇形格染上该颜色．
于是 $x_n$ 就成为将圆盘的 $n$ 个扇形格染四色，使相邻格不同色的染色方法数，易知
$x_1=4,x_2=12,x_n+x_{n-1}=4\cdot 3^{n-1}(n\geqslant 3)$ ①
将 ① 写作 $(-1)^nx_n-(-1)^{n-1}x_{n-1}=-4\cdot (-3)^{n-1}$．
因此
$\begin{aligned}(-1)^{n-1}x_{n-1}-(-1)^{n-2}x_{n-2}&=-4\cdot (-3)^{n-2}\\
\cdots&\cdots\\
(-1)^3x_3-(-1)^2x_2&=-4\cdot (-3)^2\\
(-1)^2x_2&=-4\cdot (-3)
\end{aligned}$
相加，得 $(-1)^nx_n=(-3)^n+3$，于是 $x_n=3^n+3\cdot (-1)^n(n\geqslant 2)$．
因此 $x_{13}=3^{13}-3$．这就是所求的取牌方法数．
$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n),B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$
$C=(c_1,c_2,\cdots,c_n),D=(d_1,d_2,\cdots,d_n)$
这四个数列中选取 $n$ 个项，且满足：
（i）$1,2,\cdots,n$ 每个下标都出现；
（ii）下标相邻的任两项不在同一个数列中（下标 $n$ 与 $1$ 视为相邻），其选取方法数记为 $x_n$．
今确定 $x_n$ 的表达式：
将一个圆盘分成 $n$ 个扇形格，顺次编号为 $1,2,\cdots,n$，并将数列 $A,B,C,D$ 各染一种颜色，对于任一个选项方案，如果下标为 $i$ 的项取自某颜色数列，则将第 $i$ 号扇形格染上该颜色．
于是 $x_n$ 就成为将圆盘的 $n$ 个扇形格染四色，使相邻格不同色的染色方法数，易知
$x_1=4,x_2=12,x_n+x_{n-1}=4\cdot 3^{n-1}(n\geqslant 3)$ ①
将 ① 写作 $(-1)^nx_n-(-1)^{n-1}x_{n-1}=-4\cdot (-3)^{n-1}$．
因此
$\begin{aligned}(-1)^{n-1}x_{n-1}-(-1)^{n-2}x_{n-2}&=-4\cdot (-3)^{n-2}\\
\cdots&\cdots\\
(-1)^3x_3-(-1)^2x_2&=-4\cdot (-3)^2\\
(-1)^2x_2&=-4\cdot (-3)
\end{aligned}$
相加，得 $(-1)^nx_n=(-3)^n+3$，于是 $x_n=3^n+3\cdot (-1)^n(n\geqslant 2)$．
因此 $x_{13}=3^{13}-3$．这就是所求的取牌方法数．
答案
解析
备注
