设 $n$ 是正整数，集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$．求最小的正整数 $k$，使得对于 $M$ 的任何一个 $k$ 元子集，其中必有 $4$ 个互不相同的元素之和等于 $4n+1$．
【难度】
【出处】
2005中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑 $M$ 的 $n+2$ 元子集 $P=\{n-1,n,n+1,\cdots,2n\}$．$P$ 中任何 $4$ 个不同元素之和不小于 $n-1+n+n+1+n+2=4n+2$，所以 $k\geqslant n+3$．
将 $M$ 的元配为 $n$ 对，$B_i=(i,2n+1-i),1\leqslant i\leqslant n$．对 $M$ 的任一 $n+3$ 元子集 $A$，必有三对 $B_{i_1},B_{i_2},B_{i_3}$ 同属于 $A$（$i_1,i_2,i_3$ 两两不同）．
又将 $M$ 的元配为 $n-1$ 对，$C_i=(i,2n-i),1\leqslant i\leqslant n-1$．对 $M$ 的任一 $n+3$ 元子集 $A$，必有一对 $C_{i_4}$ 同属于 $A$．
这一对 $C_{i_4}$ 必与刚才三对 $B_{i_1},B_{i_2},B_{i_3}$ 中至少一对无公共元，这 $4$ 个元素互不相同，且和为 $2n+1+2n=4n+1$．
因此，所求的最小 $k=n+3$．
将 $M$ 的元配为 $n$ 对，$B_i=(i,2n+1-i),1\leqslant i\leqslant n$．对 $M$ 的任一 $n+3$ 元子集 $A$，必有三对 $B_{i_1},B_{i_2},B_{i_3}$ 同属于 $A$（$i_1,i_2,i_3$ 两两不同）．
又将 $M$ 的元配为 $n-1$ 对，$C_i=(i,2n-i),1\leqslant i\leqslant n-1$．对 $M$ 的任一 $n+3$ 元子集 $A$，必有一对 $C_{i_4}$ 同属于 $A$．
这一对 $C_{i_4}$ 必与刚才三对 $B_{i_1},B_{i_2},B_{i_3}$ 中至少一对无公共元，这 $4$ 个元素互不相同，且和为 $2n+1+2n=4n+1$．
因此，所求的最小 $k=n+3$．
答案
解析
备注
