2005中国东南数学奥林匹克试题

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  二试组合部分

略

由于 $P(M)=5$，令 $M^\prime=\{x-5|x\in M\}=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$，则 $P(M^\prime)=0$，依照此平移关系，$M$ 和 $M^\prime$ 的均衡子集可一一对应．用 $f(k)$ 表示 $M^\prime$ 的 $k$ 元均衡子集的个数，显然有 $f(9)=1,f(1)=1$（$M^\prime$ 的 $9$ 元均衡子集只有 $M^\prime$，一元均衡子集只有 $\{0\}$）．
$M^\prime$ 的二元均衡子集共四个，为 $B_i=\{-i,i\},i=1,2,3,4$，因此 $f(2)=4$．
$M^\prime$ 的三元均衡子集有两种情况：
（1）含有元素 $0$ 的为 $B_i\bigcup \{0\}=\{-i,0,i\},i=1,2,3,4$，共四个；
（2）不含元素 $0$ 的，由于等式 $3=1+2,4+=1+3$ 可表示为 $-3+1+2=0,3-1-2=0$ 以及 $-4+1+3=0,4-1-3=0$ 得到 $4$ 个均衡子集 $\{-3,1,2\},\{3,-1,-2\},\{-4,1,3\},\{4,-1,-3\}$，因此 $f(3)=4+4=8$．
$M^\prime$ 的四元均衡子集有三种情况：
（1）每两个二元均衡子集之并：$B_i\bigcup B_j,1\leqslant i<j\leqslant 4$，共 $6$ 个集；
（2）不含元素 $0$ 的三元均衡子集与 $\{0\}$ 的并集，共 $4$ 个集；
（3）以上两种情况之外者，由于等式 $1+4=2+3$ 可表为 $-1-4+2+3=0$ 以及 $1+4-2-3=0$ 得 $2$ 个均衡子集 $\{-1,-4,2,3\}$ 与 $\{1,4,-2,-3\}$，因此 $f(4)=6+4+2=12$．
又注意到，除 $M^\prime$ 本身外，若 $B^\prime$ 是 $M^\prime$ 的均衡子集，当且仅当其补集 $C_{M^\prime}B^\prime$ 也是 $M^\prime$ 的均衡子集，二者一一对应．因此 $f(9-k)=f(k),k=1,2,3,4$．
从而 $M^\prime$ 的均衡子集个数为 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^9f(k)=f(9)+2\sum_{k=1}^4f(k)=1+2(1+4+8+12)=51$．
即 $M$ 的均衡子集有 $51$ 个．