给定大于 $2004$ 的正整数 $n$，将 $1,2,3,\cdots,n^2$ 分别填入 $n\times n$ 棋盘（由 $n$ 行 $n$ 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数．如果一个方格中填的数大于它所在行至少 $2004$ 个方格内所填的数，且大于它所在列至少 $2004$ 个方格内所填的数，则称这个方格为"优格"．求棋盘中"优格"个数的最大值．
【难度】
【出处】
2004中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少 $2004$ 个方格中所填的数，则称此格为行优的．由于每一行中填较小的 $2004$ 个数的格子不是行优的，所以每一行中有 $n-2004$ 个行优的．一个方格为"优格"一定是行优的，所以棋盘中"优格"个数不大于 $n(n-2004)$．
另一方面，将棋盘的第 $i(i=1,2,3,\cdots,n)$ 行，第 $i,i+1,\cdots,i+2003$（大于 $n$ 时取模 $n$ 的余数）列中的格子填入" $*$ "．将 $1,2,3,\cdots,2004n$ 填入有" $*$ "的格子，其余的数填入没有" $*$ "的格子．没有" $*$ "的格子中填的数大于有" $*$ "的格子中的任何一个数，所以棋盘上没有" $*$ "的格子都为"优格"，共有 $n(n-2004)$ 个．
此时每行有 $2004$ 个格子有" $*$ "，每列也有 $2004$ 个格子有" $*$ "（如图）．实际上，当 $1\leqslant i\leqslant 2003$ 时，第 $i$ 列的第 $1,2,\cdots,i,n+i-2003,n+i-2002,\cdots,n$ 行中有" $*$ "．当 $i\geqslant 2004$ 时，第 $i$ 列的第 $i-2003,i-2002,\cdots,i$ 行中有" $*$ "．所以每行有 $2004$ 个格子有" $*$ "，每列也有 $2004$ 个格子有" $*$ "．
所以棋盘中"优格"个数的最大值是 $n(n-2004)$．
另一方面，将棋盘的第 $i(i=1,2,3,\cdots,n)$ 行，第 $i,i+1,\cdots,i+2003$（大于 $n$ 时取模 $n$ 的余数）列中的格子填入" $*$ "．将 $1,2,3,\cdots,2004n$ 填入有" $*$ "的格子，其余的数填入没有" $*$ "的格子．没有" $*$ "的格子中填的数大于有" $*$ "的格子中的任何一个数，所以棋盘上没有" $*$ "的格子都为"优格"，共有 $n(n-2004)$ 个．
此时每行有 $2004$ 个格子有" $*$ "，每列也有 $2004$ 个格子有" $*$ "（如图）．实际上，当 $1\leqslant i\leqslant 2003$ 时，第 $i$ 列的第 $1,2,\cdots,i,n+i-2003,n+i-2002,\cdots,n$ 行中有" $*$ "．当 $i\geqslant 2004$ 时，第 $i$ 列的第 $i-2003,i-2002,\cdots,i$ 行中有" $*$ "．所以每行有 $2004$ 个格子有" $*$ "，每列也有 $2004$ 个格子有" $*$ "．
所以棋盘中"优格"个数的最大值是 $n(n-2004)$．
答案
解析
备注
