$n$ 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛．但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛．如果 $4$ 周内能完成全部比赛，求 $n$ 的最大值．
注：甲、乙两队在甲方场地举行的比赛，称为甲的主场比赛，乙的客场比赛．
注：甲、乙两队在甲方场地举行的比赛，称为甲的主场比赛，乙的客场比赛．
【难度】
【出处】
2004中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）如下表所示：表格中有" $*$ "，表示该球队在该周有主场比赛，不能出访．容易验证，按照表中的安排，$6$ 支球队四周可以完成该项比赛．
$\begin{array}{|c|c||c|c|c|} \hline
球队& 第一周 & 第二周&第三周&第四周 \\\hline1
&*&*&&\\\hline
2&*&&*&\\\hline
3&*&&&*\\\hline
4&&*&*&\\\hline
5&&*&&*\\\hline
6&&&*&*\\\hline\end{array}$
（2）下面证明 $7$ 支球队不能在四周完成该项比赛．设 $S_i (i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7) $ 表示 $i$ 号球队的主场比赛周次的集合．假设 $4$ 周内能完成该项比赛，则 $S_i$ 是 $\{1,2,3,4\}$ 的非空真子集．
一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛，所以 $S_i(i=1,2,3,4,5,6,7)$ 中，没有一个集是另一个的子集．
另一方面，设
$A=\{\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$
$B=\{\{2\},\{2,3\},\{2,3,4\}\}$
$C=\{\{3\},\{1,3\},\{1,3,4\}\}$
$D=\{\{4\},\{1,4\},\{1,2,4\}\}$
$E=\{\{2,4\}\},F=\{\{3,4\}\}$
由抽屉原理，一定存在 $i,i\in\{1,2,3,4,5\},i\ne j$，使 $S_i,S_j$ 属于同一集合 $A$ 或 $B$ 或 $C$ 或 $D$ 或 $E$ 或 $F$，因此必有 $S_i\subseteq S_j$ 或 $S_i\supseteq S_j$ 发生．
综上所述，$n$ 的最大值是 $6$．
$\begin{array}{|c|c||c|c|c|} \hline
球队& 第一周 & 第二周&第三周&第四周 \\\hline1
&*&*&&\\\hline
2&*&&*&\\\hline
3&*&&&*\\\hline
4&&*&*&\\\hline
5&&*&&*\\\hline
6&&&*&*\\\hline\end{array}$
（2）下面证明 $7$ 支球队不能在四周完成该项比赛．设 $S_i (i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7) $ 表示 $i$ 号球队的主场比赛周次的集合．假设 $4$ 周内能完成该项比赛，则 $S_i$ 是 $\{1,2,3,4\}$ 的非空真子集．
一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛，所以 $S_i(i=1,2,3,4,5,6,7)$ 中，没有一个集是另一个的子集．
另一方面，设
$A=\{\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$
$B=\{\{2\},\{2,3\},\{2,3,4\}\}$
$C=\{\{3\},\{1,3\},\{1,3,4\}\}$
$D=\{\{4\},\{1,4\},\{1,2,4\}\}$
$E=\{\{2,4\}\},F=\{\{3,4\}\}$
由抽屉原理，一定存在 $i,i\in\{1,2,3,4,5\},i\ne j$，使 $S_i,S_j$ 属于同一集合 $A$ 或 $B$ 或 $C$ 或 $D$ 或 $E$ 或 $F$，因此必有 $S_i\subseteq S_j$ 或 $S_i\supseteq S_j$ 发生．
综上所述，$n$ 的最大值是 $6$．
答案
解析
备注
