求满足 $\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{y-z}{y+z}+\dfrac{z-u}{z+u}+\dfrac{u-x}{u+x}>0$，且 $1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10$ 的所有四元有序整数组 $(x,y,z,u)$ 的个数．
【难度】
【出处】
2004中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $f(a,b,c,d)=\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b-c}{b+c}+\dfrac{c-d}{c+d}+\dfrac{d-a}{d+a}$．记
$A:\{(x,y,z,u)|1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10,f(x,y,z,u)>0\}$
$B:\{(x,y,z,u)|1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10,f(x,y,z,u)<0\}$
$C:\{(x,y,z,u)|1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10,f(x,y,z,u)=0\}$
显然 $\rm{card}(A)+\rm{card}(B)+\rm{card}(C)=10^4$．
我们证明 $\rm{card}(A)=\rm{card}(B)$．对每一个 $(x,y,z,u)\in A$，考虑 $(x,u,z,y)$．
$(x,y,u,z)\in A\Leftrightarrow f(x,y,z,u)>0$
$\Leftrightarrow\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{y-z}{y+z}+\dfrac{z-u}{z+u}+\dfrac{u-x}{u+x}>0$
$\Leftrightarrow\dfrac{x-u}{x+u}+\dfrac{u-z}{u+z}+\dfrac{z-y}{z+y}+\dfrac{y-x}{y+x}<0$
$\Leftrightarrow f(x,u,z,y)<0\Leftrightarrow(x,u,z,y)\in B$
接着计算 $\rm{card}(C)$．
$(x,y,z,u)\in C\Leftrightarrow\dfrac{xz-yu}{(x+y)(z+u)}=\dfrac{xz-yu}{(y+z)(u+x)}\Leftrightarrow(z-x)(u-y)(xz-yu)=0$ 设
$C_1=\{(x,y,z,u)|x=z,1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10\}$
$C_2=\{(x,y,z,u)|x\ne z,y=u,1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10\}$
$C_3=\{(x,y,z,u)|x\ne z,y\ne u,xz=yu,1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10\}$
因为满足 $a\times b=c\times d,(a,b,c,d)$ 为 $1,2,3,\cdots,10$ 的两两不同的无序四元组只有
$1\times 6=2\times 3,1\times 8=2\times 4,1\times 10=2\times 5$
$2\times 6=3\times 4,2\times 9=3\times 6,2\times 10=4\times 5$
$3\times 8=4\times 6,3\times 10=5\times 6,4\times 10=5\times 8$
满足 $x=y,z=u,x\ne z$ 的四元组共 $90$ 个，满足 $x=u,y=z,x\ne z$ 的四元组共 $90$ 个，所以 $\rm{card}(C_3)=4\times 2\times9+90+90=252$．
又 $\rm{card}(C_1)=1000,\rm{card}(C_2)=900$，所以 $\rm{card}(C)=2152$．
因此 $\rm{card}(A)=3924.$
$A:\{(x,y,z,u)|1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10,f(x,y,z,u)>0\}$
$B:\{(x,y,z,u)|1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10,f(x,y,z,u)<0\}$
$C:\{(x,y,z,u)|1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10,f(x,y,z,u)=0\}$
显然 $\rm{card}(A)+\rm{card}(B)+\rm{card}(C)=10^4$．
我们证明 $\rm{card}(A)=\rm{card}(B)$．对每一个 $(x,y,z,u)\in A$，考虑 $(x,u,z,y)$．
$(x,y,u,z)\in A\Leftrightarrow f(x,y,z,u)>0$
$\Leftrightarrow\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{y-z}{y+z}+\dfrac{z-u}{z+u}+\dfrac{u-x}{u+x}>0$
$\Leftrightarrow\dfrac{x-u}{x+u}+\dfrac{u-z}{u+z}+\dfrac{z-y}{z+y}+\dfrac{y-x}{y+x}<0$
$\Leftrightarrow f(x,u,z,y)<0\Leftrightarrow(x,u,z,y)\in B$
接着计算 $\rm{card}(C)$．
$(x,y,z,u)\in C\Leftrightarrow\dfrac{xz-yu}{(x+y)(z+u)}=\dfrac{xz-yu}{(y+z)(u+x)}\Leftrightarrow(z-x)(u-y)(xz-yu)=0$ 设
$C_1=\{(x,y,z,u)|x=z,1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10\}$
$C_2=\{(x,y,z,u)|x\ne z,y=u,1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10\}$
$C_3=\{(x,y,z,u)|x\ne z,y\ne u,xz=yu,1\leqslant x,y,z,u\leqslant 10\}$
因为满足 $a\times b=c\times d,(a,b,c,d)$ 为 $1,2,3,\cdots,10$ 的两两不同的无序四元组只有
$1\times 6=2\times 3,1\times 8=2\times 4,1\times 10=2\times 5$
$2\times 6=3\times 4,2\times 9=3\times 6,2\times 10=4\times 5$
$3\times 8=4\times 6,3\times 10=5\times 6,4\times 10=5\times 8$
满足 $x=y,z=u,x\ne z$ 的四元组共 $90$ 个，满足 $x=u,y=z,x\ne z$ 的四元组共 $90$ 个，所以 $\rm{card}(C_3)=4\times 2\times9+90+90=252$．
又 $\rm{card}(C_1)=1000,\rm{card}(C_2)=900$，所以 $\rm{card}(C)=2152$．
因此 $\rm{card}(A)=3924.$
答案
解析
备注
