定义经过无穷多个整点的直线为好直线，已知任意平行于坐标轴的好直线都经过无穷多种颜色的整点（将平面上所有点染色），问：是否一定存在不平行于坐标轴的直线经过无穷多种颜色的整点．
【难度】
【出处】
2019北大数学科学夏令营
【标注】
【答案】
略
【解析】
答案是否定的，即存在一种染色方式，对任意不平行于坐标轴的好直线，其上都只有有限种颜色．
设 $T = \{(x,y)|x,y \in \mathbb{Z},|y| \geqslant x^2 或 |x| \geqslant y^2\}$．对于 $ T$ 中整点，将其染成两两不同的颜色．不在 $T$ 中的整点，染成同一个颜色．
可以发现对任意平行于坐标轴的好直线，其上只有有限个点不在 $ T $ 中，故其上整点有无穷个颜色．对任意不平行于坐标轴的直线 $ l:y = kx + b(k \ne 0)$．
$l \bigcap T$ 中的点 $(x,y)$ 一定满足 $ kx + b \geqslant x^2,−(kx + b)\geqslant x^2,x \geqslant(kx + b)^2,−x \geqslant(kx + b)^2$ 这四个不等式之一．由于 $k\ne 0$，故这四个关于 $x$ 的不等式，每一个的解集要么是有限闭区间（左右端点允许重合），要么是空集．故存在一个正数 $M$，只要 $ |x| > M$，就有 $(x,kx + b)\ne\in l \bigcap T$．
由于整数的离散性，知 $ l \bigcap T$ 交集是有限集．所以 $l$ 上整点只有有限种颜色．
设 $T = \{(x,y)|x,y \in \mathbb{Z},|y| \geqslant x^2 或 |x| \geqslant y^2\}$．对于 $ T$ 中整点，将其染成两两不同的颜色．不在 $T$ 中的整点，染成同一个颜色．
可以发现对任意平行于坐标轴的好直线，其上只有有限个点不在 $ T $ 中，故其上整点有无穷个颜色．对任意不平行于坐标轴的直线 $ l:y = kx + b(k \ne 0)$．
$l \bigcap T$ 中的点 $(x,y)$ 一定满足 $ kx + b \geqslant x^2,−(kx + b)\geqslant x^2,x \geqslant(kx + b)^2,−x \geqslant(kx + b)^2$ 这四个不等式之一．由于 $k\ne 0$，故这四个关于 $x$ 的不等式，每一个的解集要么是有限闭区间（左右端点允许重合），要么是空集．故存在一个正数 $M$，只要 $ |x| > M$，就有 $(x,kx + b)\ne\in l \bigcap T$．
由于整数的离散性，知 $ l \bigcap T$ 交集是有限集．所以 $l$ 上整点只有有限种颜色．
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