我们称平面上一个有限点集 $S$ 是平衡的，如果对任意两个不同的点 $A,B$，都存在 $S$ 中一个点 $C$ 满足 $AC=BC$，我们称 $S$ 是无中心的，如果对 $S$ 中任意三个不同的点 $A,B,C$，都不存在 $S$ 中的一点 $P$，满足 $PA=PB=PC$．
（a）证明：对每个整数 $n\geqslant 3$，均存在一个由 $n$ 个点构成的平衡点集．
（b）确定所有的整数 $n\geqslant 3$，使得存在一个由 $n$ 个点构成的平衡且无中心的点集．（荷兰）
（a）证明：对每个整数 $n\geqslant 3$，均存在一个由 $n$ 个点构成的平衡点集．
（b）确定所有的整数 $n\geqslant 3$，使得存在一个由 $n$ 个点构成的平衡且无中心的点集．（荷兰）
【难度】
【出处】
2015年第56届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（a）对于奇数 $n\geqslant 3$，考虑正 $n$ 边形的 $n$ 个顶点构成的点集 $S$，我们说明 $S$ 是平衡的．事实上，$S$ 中所有点在一圆周 $\omega$ 上．对于 $S$ 中任意两个不同点 $A,B$，点 $A,B$ 分 $\omega$ 为两段圆弧，其中一段圆弧内部有奇数个 $S$ 中点，其中一点 $C$ 是这段圆弧的中点，它满足 $AC=BC$．
对于偶数 $n\geqslant 4$，考虑如下构图：设圆 $\omega$ 的圆心为 $O$，
在 $\omega$ 上取非常靠近的 $k=\frac{n}{2}-1$ 点 $A_1 , \ldots , A_{k}$，使得这些点都落在圆心角为 $30^{\circ}$ 的一段圆弧上，将这 $k$ 个点绕圆心 $O$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$，又得到 $k$ 个点 $B_1 , \ldots , B_k$，将 $A_1$ 绕 $O$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$，得到点 $A'$．令
$S=\{O,A_1 , \ldots , A_k , B_1 , \ldots , B_k , A'\}$
则 $S$ 含有 $n$ 个不同时点．我们说明 $S$ 是平衡的．事实上，对 $S$ 中任意两个不同点 $A,B$，若 $A,B$ 都在 $\omega$ 上，则 $O$ 到 $A,B$ 的距离相等．若 $A,B$ 之一是 $O$，则由上述构造方法知，总存在另一点 $C\in S$，
使得三角形 $ABC$ 是正三角形，因此 $C$ 到 $A,B$ 的距离也相等．
（b）所求 $n$ 为所有大于等于 $3$ 的奇数．
当 $n$ 是大于等于 $3$ 的奇数时，取 $S$ 为一个正 $n$ 边形的 $n$ 个顶点所构成的点集，（a）中已经说明 $S$ 是平衡的．由于 $S$ 中任意三个不同点的外心为这个正 $n$ 边形的中心，它不在 $S$ 中，因此 $S$ 也是无中心的．
对于大于等于 $4$ 的偶数 $n$，不存在平衡且无中心的点集．假设一个 $n$ 个点的集合 $S$ 是平衡的．对于 $S$ 中的任意一个二元子集 $\{A,B\}$，存在 $S$ 中一点到 $A,B$ 距离相等，取定这样一个点，称为 $\{A,B\}$ 的关联点．$S$ 的二元子集共有 $C_n^2$ 个，每个二元子集均确定一个关联点，根据抽屉原理，$S$ 中有一个点 $P$，它至少是 $\dfrac{1}{n}C_n^2 = \dfrac{1}{2}(n-1)$ 个二元子集的关联点．
由于 $n$ 是偶数，故 $P$ 至少是 $S$ 的个二元子集的关联点．以 $P$ 为关联点的二元子集中的两点均不为 $P$，这 $\dfrac{n}{2}$ 个二元子集中的点都是 $S\backslash \{P\}$ 中的点．
由于 $\dfrac{n}{2}\times 2=n>n-1$，其中有两个二元子集有共同元索，
记为 $\{A,B\}$ 和 $\{A,C\}$，则 $PA=PB=PC$，从而 $S$ 不是无中心的．
对于偶数 $n\geqslant 4$，考虑如下构图：设圆 $\omega$ 的圆心为 $O$，
在 $\omega$ 上取非常靠近的 $k=\frac{n}{2}-1$ 点 $A_1 , \ldots , A_{k}$，使得这些点都落在圆心角为 $30^{\circ}$ 的一段圆弧上，将这 $k$ 个点绕圆心 $O$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$，又得到 $k$ 个点 $B_1 , \ldots , B_k$，将 $A_1$ 绕 $O$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$，得到点 $A'$．令
$S=\{O,A_1 , \ldots , A_k , B_1 , \ldots , B_k , A'\}$
则 $S$ 含有 $n$ 个不同时点．我们说明 $S$ 是平衡的．事实上，对 $S$ 中任意两个不同点 $A,B$，若 $A,B$ 都在 $\omega$ 上，则 $O$ 到 $A,B$ 的距离相等．若 $A,B$ 之一是 $O$，则由上述构造方法知，总存在另一点 $C\in S$，
使得三角形 $ABC$ 是正三角形，因此 $C$ 到 $A,B$ 的距离也相等．
（b）所求 $n$ 为所有大于等于 $3$ 的奇数．
当 $n$ 是大于等于 $3$ 的奇数时，取 $S$ 为一个正 $n$ 边形的 $n$ 个顶点所构成的点集，（a）中已经说明 $S$ 是平衡的．由于 $S$ 中任意三个不同点的外心为这个正 $n$ 边形的中心，它不在 $S$ 中，因此 $S$ 也是无中心的．
对于大于等于 $4$ 的偶数 $n$，不存在平衡且无中心的点集．假设一个 $n$ 个点的集合 $S$ 是平衡的．对于 $S$ 中的任意一个二元子集 $\{A,B\}$，存在 $S$ 中一点到 $A,B$ 距离相等，取定这样一个点，称为 $\{A,B\}$ 的关联点．$S$ 的二元子集共有 $C_n^2$ 个，每个二元子集均确定一个关联点，根据抽屉原理，$S$ 中有一个点 $P$，它至少是 $\dfrac{1}{n}C_n^2 = \dfrac{1}{2}(n-1)$ 个二元子集的关联点．
由于 $n$ 是偶数，故 $P$ 至少是 $S$ 的个二元子集的关联点．以 $P$ 为关联点的二元子集中的两点均不为 $P$，这 $\dfrac{n}{2}$ 个二元子集中的点都是 $S\backslash \{P\}$ 中的点．
由于 $\dfrac{n}{2}\times 2=n>n-1$，其中有两个二元子集有共同元索，
记为 $\{A,B\}$ 和 $\{A,C\}$，则 $PA=PB=PC$，从而 $S$ 不是无中心的．
答案
解析
备注
