一个反帕斯卡三角形是由一些数排成的等边三角形数阵，其中每个不在最后一行的数都恰好等于排在它下面的两个数的差的绝对值．例如，下面的数阵是一个反帕斯卡三角形，它共有四行，并且恰含有 $1$ 至 $10$ 中的每个整数．$$4\\2,6\\5,7,1\\8,3,10,9$$试问：是否存在一个共有 $2018$ 行的反帕斯卡三角形，恰含有 $1$ 至 $1+2+\cdots+2018$ 中的每个整数？（伊朗）
【难度】
【出处】
2018年第59届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
不存在．
反证法，假设存在这样一个反帕斯卡三角形．记 $N=1+2+\cdots+2018$，将第 $i$ 行中从左至右的第 $j$ 个数记为 $a_{i,j}$．设 $a_1=a_{1,1}$，将 $a_1$ 下方的两个数中较大的数记为 $a_2$，较小的数记为 $b_2$，又将 $a_2$ 下方的两个数中较大的数记为 $a_3$，较小的数记为 $b_3$，如此下去，我们将 $a_i$ 下方的两个数中较大的数记为 $a_{i+1}$，较小的数记为 $b_{i+1},i=1,2,\cdots,2017$．
由反帕斯卡三角形的定义，有 $a_i=a_{i+1}-b_{i+1},i=1,2,\cdots,2017$，因此 $a_{2018}=a_1+b_2+b_3+\cdots+b_{2018}$．
由于 $a_1,b_2,b_3,\cdots,b_{2018}$ 是 $2018$ 个互不相同的正整数，故 $a_1+b_2+b_3+\cdots+b_{2018}\geqslant 1+2+3+\cdots+2018=N$．
而 $a_{2018}\leqslant N$，故只能 $a_{2018}=N$，并且 $\{a_1,b_2,b_3,\cdots,b_{2018}\}=\{1,2,3,\cdots,2018\}$．
设 $a_{2018}=a_{2018,j}$，由对称性，不妨设 $j\leqslant 1009$，因此 $a_{2018},b_{2018}\in\{a_{2018,1},a_{2018,2},\cdots,a_{2018,1010}\}$．
于是 $a_1,a_2,\cdots,a_{2018},b_1,b_2,b_3,\cdots,b_{2018}$ 全部都在以下集合 $S$ 中：$S=\{a_{i,j}|j\leqslant 1010\}$．
考虑剩下的反帕斯卡三角形 $T=\{a_{i,j}|1011\leqslant i\leqslant 2018,1011\leqslant j\leqslant i\}$．
记 $c_{2011}=a_{1011,1011}$，对 $i=1011,1012,\cdots,2017$，将 $c_i$ 下方的两个数中较大的数记为 $c_{i+1}$，较小的数记为 $d_{i+1}$．由于 $c_i=c_{i+1}-d_{i+1},i=1011,1012,\cdots,2017$，于是 $c_{2018}=c_{1011}+d_{1012}+d_{1013}+\cdots+d_{2018}$．
由于 $c_{2011},d_{1012},d_{1013},\cdots,d_{2018}$ 均在 $T$ 中，不在 $S$ 中，它们都大于 $2018$，且互不相同，故 $c_{1011}+d_{1012}+d_{1013}+\cdots+d_{2018}\geqslant 2019+2020+\cdots+3026=2542680>N=2037171$．这与 $c_{2018}\leqslant N$ 矛盾．因此假设不成立，满足题意的反帕斯卡三角形．
证法二
不存在．
反证法，假设存在满足题目条件的反帕斯卡三角形．记 $N=\dfrac{1}{2}\times 2018\times 2019$．我们称 $1,2,\cdots,2018$ 为小数，$N,N-1,\cdots,N-2018$ 为大数．注意到，对每个不在最后一行中的大数，它下面的两个数恰是一个大数和一个小数．
（1）我们证明每行中恰有一个小数．
设 $a_i,b_i$ 分别是第 $i$ 行中的最大数和最小数．对 $1\leqslant i\leqslant 2017$，设 $a_i$ 下面的两个数分别是 $b,c$，且 $b>c$，则由条件可知 $a_i=b-c\leqslant a_{i+1}-b_{i+1}$．
将上面的不等式对 $i=1,2,\cdots,2017$ 求和，可知 $\displaystyle a_1\leqslant a_{2018}-\sum\limits_{i=2}^{2018}b_i$
又 $a_1,b_2,b_3,\cdots,b_{2018}$ 是互不相同的正整数，故 $\displaystyle a_{2018}\geqslant a_1+\sum\limits_{i=2}^{2018}b_i\geqslant \sum_{i=1}^{2018}i=N$．
再由 $a_{2018}\leqslant N$，可知 $a_{2018}=N$，并且 $\{a_1,
b_2,b_3,\cdots,b_{2018}\}=\{1,2,\cdots,2018\}$．
（2）大数都在最后 $80$ 行中．
这是因为，对 $i\leqslant 1938$，我们有 $\displaystyle a_i\leqslant a_{2018}-\sum\limits_{j=i+1}^{2018}b_j\leqslant N-\sum_{j=1}^{2018-i}j\leqslant N-\sum_{j=1}^{80}j=N-3240$，从而 $a_i$ 不是大数，故前 $1938$ 行中不含大数．
（3）下面通过估计大数的个数得到矛盾．若最后一行中有两个大数是相邻的，那么这两个大数上面那个数一定是小数，由于倒数第二行中只有一个小数，故最后一行中至多只有两个大数是相邻的，因此最后一行中大数的个数不超过 $2+\left[\dfrac{2016}{2}\right]=1010$．不在最后一行中的大数它的下面两个数中必定有一个是小数，又大数均在最后 $80$ 行中，且每行仅有一个小数，故不在最后一行的大数个数不超过 $79\times 2=158$．因此大数个数不超过 $1168$，这与大数一共有 $2019$ 个矛盾．
因此，满足题意的反帕斯卡三角形不存在．
不存在．
反证法，假设存在这样一个反帕斯卡三角形．记 $N=1+2+\cdots+2018$，将第 $i$ 行中从左至右的第 $j$ 个数记为 $a_{i,j}$．设 $a_1=a_{1,1}$，将 $a_1$ 下方的两个数中较大的数记为 $a_2$，较小的数记为 $b_2$，又将 $a_2$ 下方的两个数中较大的数记为 $a_3$，较小的数记为 $b_3$，如此下去，我们将 $a_i$ 下方的两个数中较大的数记为 $a_{i+1}$，较小的数记为 $b_{i+1},i=1,2,\cdots,2017$．
由反帕斯卡三角形的定义，有 $a_i=a_{i+1}-b_{i+1},i=1,2,\cdots,2017$，因此 $a_{2018}=a_1+b_2+b_3+\cdots+b_{2018}$．
由于 $a_1,b_2,b_3,\cdots,b_{2018}$ 是 $2018$ 个互不相同的正整数，故 $a_1+b_2+b_3+\cdots+b_{2018}\geqslant 1+2+3+\cdots+2018=N$．
而 $a_{2018}\leqslant N$，故只能 $a_{2018}=N$，并且 $\{a_1,b_2,b_3,\cdots,b_{2018}\}=\{1,2,3,\cdots,2018\}$．
设 $a_{2018}=a_{2018,j}$，由对称性，不妨设 $j\leqslant 1009$，因此 $a_{2018},b_{2018}\in\{a_{2018,1},a_{2018,2},\cdots,a_{2018,1010}\}$．
于是 $a_1,a_2,\cdots,a_{2018},b_1,b_2,b_3,\cdots,b_{2018}$ 全部都在以下集合 $S$ 中：$S=\{a_{i,j}|j\leqslant 1010\}$．
考虑剩下的反帕斯卡三角形 $T=\{a_{i,j}|1011\leqslant i\leqslant 2018,1011\leqslant j\leqslant i\}$．
记 $c_{2011}=a_{1011,1011}$，对 $i=1011,1012,\cdots,2017$，将 $c_i$ 下方的两个数中较大的数记为 $c_{i+1}$，较小的数记为 $d_{i+1}$．由于 $c_i=c_{i+1}-d_{i+1},i=1011,1012,\cdots,2017$，于是 $c_{2018}=c_{1011}+d_{1012}+d_{1013}+\cdots+d_{2018}$．
由于 $c_{2011},d_{1012},d_{1013},\cdots,d_{2018}$ 均在 $T$ 中，不在 $S$ 中，它们都大于 $2018$，且互不相同，故 $c_{1011}+d_{1012}+d_{1013}+\cdots+d_{2018}\geqslant 2019+2020+\cdots+3026=2542680>N=2037171$．这与 $c_{2018}\leqslant N$ 矛盾．因此假设不成立，满足题意的反帕斯卡三角形．
证法二
不存在．
反证法，假设存在满足题目条件的反帕斯卡三角形．记 $N=\dfrac{1}{2}\times 2018\times 2019$．我们称 $1,2,\cdots,2018$ 为小数，$N,N-1,\cdots,N-2018$ 为大数．注意到，对每个不在最后一行中的大数，它下面的两个数恰是一个大数和一个小数．
（1）我们证明每行中恰有一个小数．
设 $a_i,b_i$ 分别是第 $i$ 行中的最大数和最小数．对 $1\leqslant i\leqslant 2017$，设 $a_i$ 下面的两个数分别是 $b,c$，且 $b>c$，则由条件可知 $a_i=b-c\leqslant a_{i+1}-b_{i+1}$．
将上面的不等式对 $i=1,2,\cdots,2017$ 求和，可知 $\displaystyle a_1\leqslant a_{2018}-\sum\limits_{i=2}^{2018}b_i$
又 $a_1,b_2,b_3,\cdots,b_{2018}$ 是互不相同的正整数，故 $\displaystyle a_{2018}\geqslant a_1+\sum\limits_{i=2}^{2018}b_i\geqslant \sum_{i=1}^{2018}i=N$．
再由 $a_{2018}\leqslant N$，可知 $a_{2018}=N$，并且 $\{a_1,
b_2,b_3,\cdots,b_{2018}\}=\{1,2,\cdots,2018\}$．
（2）大数都在最后 $80$ 行中．
这是因为，对 $i\leqslant 1938$，我们有 $\displaystyle a_i\leqslant a_{2018}-\sum\limits_{j=i+1}^{2018}b_j\leqslant N-\sum_{j=1}^{2018-i}j\leqslant N-\sum_{j=1}^{80}j=N-3240$，从而 $a_i$ 不是大数，故前 $1938$ 行中不含大数．
（3）下面通过估计大数的个数得到矛盾．若最后一行中有两个大数是相邻的，那么这两个大数上面那个数一定是小数，由于倒数第二行中只有一个小数，故最后一行中至多只有两个大数是相邻的，因此最后一行中大数的个数不超过 $2+\left[\dfrac{2016}{2}\right]=1010$．不在最后一行中的大数它的下面两个数中必定有一个是小数，又大数均在最后 $80$ 行中，且每行仅有一个小数，故不在最后一行的大数个数不超过 $79\times 2=158$．因此大数个数不超过 $1168$，这与大数一共有 $2019$ 个矛盾．
因此，满足题意的反帕斯卡三角形不存在．
答案
解析
备注
