我们所谓一个位置是指直角坐标平面上的一个点 $(x,y)$，其中 $x,y$ 都是不超过 $20$ 的正整数．
最初时，所有 $400$ 个位置都是空的．甲乙两人轮流摆放石子，由甲先进行．每次轮到到甲时，他在一个空的位置上摆上一个新的红色石子，要求任意两个红色石子所在位置之间的距离都不等于 $\sqrt{5}$．每次轮到乙时．他在任意一个空的的位置上摆上一个新的蓝色石子．（蓝色石子所在位置与其他石子所在位置之间距离可以是任意值．）如此这般进行下去直至某个人无法再摆放石子．
试确定最大的整数 $K$，使得无论乙如何摆放蓝色石子，甲总能保证至少摆放 $K$ 个红色石子．（亚美尼亚）
最初时，所有 $400$ 个位置都是空的．甲乙两人轮流摆放石子，由甲先进行．每次轮到到甲时，他在一个空的位置上摆上一个新的红色石子，要求任意两个红色石子所在位置之间的距离都不等于 $\sqrt{5}$．每次轮到乙时．他在任意一个空的的位置上摆上一个新的蓝色石子．（蓝色石子所在位置与其他石子所在位置之间距离可以是任意值．）如此这般进行下去直至某个人无法再摆放石子．
试确定最大的整数 $K$，使得无论乙如何摆放蓝色石子，甲总能保证至少摆放 $K$ 个红色石子．（亚美尼亚）
【难度】
【出处】
2018年第59届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$K=100$．
首先，甲有策略可以保证至少摆放 $100$ 个红色石子，将所有位置分为奇偶两类，若 $2\nmid x+y$，则称位置 $(x,y)$ 是奇位置，否则称其为偶位置．由于任意两个奇位置之间的距离都不等于 $\sqrt{5}$，且奇位置共有 $200$ 个，故甲可以在前 $100$ 次轮到自己时都在空的奇位置上摆放红色石子，这样甲可以保证至少摆放 $100$ 个红色石子．
其次，乙有策略让甲不能摆放 $101$ 个红色石子．考虑一个 $4\times 4$ 的点阵，可以分成 $4$ 组，如下所示，标记同一个字母的四个位置为一组．
$\begin{array}\\
A&B&C&D\\
C&D&A&B\\
B&A&D&C\\
D&C&B&A
\end{array}$
同一组的四个位置，将其中距离等于 $\sqrt{5}$ 的两个点连线，均构成一个平行四边形．乙采用如下策略，先将 $400$ 个位置分成 $25$ 个 $4\times 4$ 的点阵，每个点阵中都按上图方式分成 $4$ 组，每组 $4$ 个点，并且在每组中将距离为 $\sqrt{5}$ 的两个点连线，这样构成了 $100$ 个平行四边形．甲每次在某个平行四边形中选择了一个顶点摆放红色石子 $P$，乙就在这个平行四边形上与 $P$ 相对的顶点上摆放蓝色石子，这样与 $P$ 相邻的两个顶点上甲都不能再摆放红色石子．这样甲在每个平行四边形上至多摆放一个红色石子，因此甲无法摆放 $101$ 个红色石子．
综上可知，所求 $K=100$．
首先，甲有策略可以保证至少摆放 $100$ 个红色石子，将所有位置分为奇偶两类，若 $2\nmid x+y$，则称位置 $(x,y)$ 是奇位置，否则称其为偶位置．由于任意两个奇位置之间的距离都不等于 $\sqrt{5}$，且奇位置共有 $200$ 个，故甲可以在前 $100$ 次轮到自己时都在空的奇位置上摆放红色石子，这样甲可以保证至少摆放 $100$ 个红色石子．
其次，乙有策略让甲不能摆放 $101$ 个红色石子．考虑一个 $4\times 4$ 的点阵，可以分成 $4$ 组，如下所示，标记同一个字母的四个位置为一组．
$\begin{array}\\
A&B&C&D\\
C&D&A&B\\
B&A&D&C\\
D&C&B&A
\end{array}$
同一组的四个位置，将其中距离等于 $\sqrt{5}$ 的两个点连线，均构成一个平行四边形．乙采用如下策略，先将 $400$ 个位置分成 $25$ 个 $4\times 4$ 的点阵，每个点阵中都按上图方式分成 $4$ 组，每组 $4$ 个点，并且在每组中将距离为 $\sqrt{5}$ 的两个点连线，这样构成了 $100$ 个平行四边形．甲每次在某个平行四边形中选择了一个顶点摆放红色石子 $P$，乙就在这个平行四边形上与 $P$ 相对的顶点上摆放蓝色石子，这样与 $P$ 相邻的两个顶点上甲都不能再摆放红色石子．这样甲在每个平行四边形上至多摆放一个红色石子，因此甲无法摆放 $101$ 个红色石子．
综上可知，所求 $K=100$．
答案
解析
备注
