2016年第57届IMO试题

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  二试组合部分

略

答案是 $2016$．
若要使得所得方程无实数根，同一个一次因式在等号两边不能都有，至少删去其中一个，故总共至少需要删去 $2016$ 个一次因式．
下面说明，如果在等式左边删去所有一次因式 $x-k$，其中 $k\equiv 2,3\pmod{4}$，在等式右边删去所有一次因式 $x-m$，其中 $m\equiv 0,1\pmod{4}$，所得方程
$\displaystyle \prod\limits_{j=0}^{503}(x-4 j-1)(x-4 j-4)=\prod_{j=0}^{503}(x-4 j-2)(x-4 j-3)$ ①
无实数根．对实数 $x$ 分情况说明 ① 式不成立．
情形一：$x=1,2,\ldots ,2016$．
在此情形下，① 式一边等于零，另一边不等于零，因此 ① 式不成立．
情形二：$x\in (4k+1,4k+2)\bigcup (4k+3,4k+4)$，其中 $k\in \{0,1,\ldots ,503\}$．
对 $j\in \{0,1,\ldots,503\}$，若 $j\neq k$，则
$\begin{array}{l}{(x-4 j-1)(x-4 j-4)>0} \\ {(x-4 j-2)(x-4 j-3)>0}\end{array}$
若 $j=k$，则
$\begin{array}{l}{(x-4 k-1)(x-4 k-4)<0} \\ {(x-4 k-2)(x-4 k-3)>0}\end{array}$
将这些不等式相乘得 ① 式左边小于零，右边大于零，因此 ① 式不成立．
情形三：$x<1$ 或 $x>2016$ 或 $x\in(4k,4k+1)$，其中 $k\in\{1,2,\ldots ,503\}$．
对 $j\in\{0,1,\ldots ,503\}$，我们有
$
0<(x-4 j-1)(x-4 j-4)<(x-4 j-2)(x-4 j-3)
$
将这些不等式相乘得 ① 式左边小于右边，① 式不成立．
情形四：$x\in(4k+2,4k+3)$，其中 $k\in \{0,1,\ldots ,503\}$．
对 $j\in\{1,2,\ldots ,503\}$，我们有
$
0<(x-4 j+1)(x-4 j-2)<(x-4 j)(x-4 j-1)
$
此外 $x-1>x-2>0$，$x-2016<x-2015<0$，将这些不等式相乘得
$\displaystyle
\prod\limits_{j=0}^{503}(x-4 j-1)(x-4 j-4)<\prod_{j=0}^{503}(x-4 j-2)(x-4 j-3)<0
$
① 式不成立．
综上所述，所需删去一次因式个数的最小值为 $2016$．