在平面上 $n\geqslant 2$ 条线段，其中任意两条线段都交叉，且没有三条线段相交于同一点．杰夫在每条线段上选取一个端点并放置一只青蛙在此端点上．接着杰夫会拍 $n-1$ 次手．每当他拍一次手时，每只青蛙都立即向前跳到它所在线段上的下一个交点．每只青蛙自始至终不改变跳跃的方向。杰夫的愿望是能够适当地放置青蛙，使得在任何时刻不会有两只青蛙落在同一个交点上．
（a）证明：若 $n$ 是奇数，则杰夫总能实现他的愿望．
（b）证明：若 $n$ 是偶数，则杰夫总不能实现他的愿望．（捷克）
（a）证明：若 $n$ 是奇数，则杰夫总能实现他的愿望．
（b）证明：若 $n$ 是偶数，则杰夫总不能实现他的愿望．（捷克）
【难度】
【出处】
2016年第57届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
取一个大圆盘覆盖所有线段，延长线段使得与圆周 $\omega$ 交于两点，不妨假设最初时线段的两个端点就在此圆周上，这不影响题目．因此我们将 $n$ 条线段看作是 $\omega$ 的 $n$ 条弦，每两条在内部相交，且没有三条弦相交于同一点．在 $\omega$ 上按顺时针方向将这 $n$ 条弦的 $2n$ 个端点依次记为 $A_1 , A_2 , A_3 , \ldots , A_{2n}$．
（1）杰夫可将青蛙放在 $A_1 , A_3 , \ldots , A_{2n-1}$ 上．首先每条弦内侧各有 $n-1$ 个端点，因此这 $n$ 条弦为 $A_i A_{i+n}$，$i=1,2,\ldots ,n$，由于 $n$ 是奇数，$i,i+n$ 一奇一偶，杰夫确实在每条弦的一个端点上放置了一只青蛙．为证明任何时刻不会有两只青蛙落在同一个交点上，我们考察任意两只青蛙，假设它们是在 $A_i , A_{i+2k}$ 上的两只青蛙，这里 $1\leqslant k<\frac{n}{2}$，下标按模 $2n$ 理解．设弦 $A_i A_{i+n}$ 与 $A_{i+2k}A_{i+2k+n}$ 相交于点 $P$．只需说明线段 $A_i P$ 内部的交点个数与线段 $A_{i+2k} P$ 内部的交点个数不相同．对于弦 $A_j A_{j+n}$，其中 $j=i+1,i+2,\ldots,i+2k-1$，每条弦恰与线段 $A_i P , A_{i+2k} P$ 中的一条相交．对于其他的弦，要么同时与线段 $A_i P , A_{i+2k}P$ 相交，要么同时不相交，因此线段 $A_i P$ 和 $A_{i+2k}P$ 内部的交点总数是奇数，从而不会相等．
（2）对杰夫的任意一种放置青蛙的方法，一定有两只青蛙放置在相邻的 $A_i , A_{i+1}$ 上，若不然青蛙相间地放置在圆周上，但 $n$ 是偶数，这导致有某个 $i$，使得 $A_i , A_{i+n}$ 上都有青蛙，不合要求．设弦 $A_i A_{i+n}$ 与 $A_{i+1}A_{i+n+1}$ 交于点 $P$．对于其他任意一条弦，要么同时与线段 $A_i P , A_{i+1} P$ 相交，要么同时不相交，因此线段 $A_i P , A_{i+1}P$ 内部的交点个数相同，这样在某个时刻，$A_i ,A_{i+1}$ 上的青蛙就会同时落在交点 $P$ 上．
（1）杰夫可将青蛙放在 $A_1 , A_3 , \ldots , A_{2n-1}$ 上．首先每条弦内侧各有 $n-1$ 个端点，因此这 $n$ 条弦为 $A_i A_{i+n}$，$i=1,2,\ldots ,n$，由于 $n$ 是奇数，$i,i+n$ 一奇一偶，杰夫确实在每条弦的一个端点上放置了一只青蛙．为证明任何时刻不会有两只青蛙落在同一个交点上，我们考察任意两只青蛙，假设它们是在 $A_i , A_{i+2k}$ 上的两只青蛙，这里 $1\leqslant k<\frac{n}{2}$，下标按模 $2n$ 理解．设弦 $A_i A_{i+n}$ 与 $A_{i+2k}A_{i+2k+n}$ 相交于点 $P$．只需说明线段 $A_i P$ 内部的交点个数与线段 $A_{i+2k} P$ 内部的交点个数不相同．对于弦 $A_j A_{j+n}$，其中 $j=i+1,i+2,\ldots,i+2k-1$，每条弦恰与线段 $A_i P , A_{i+2k} P$ 中的一条相交．对于其他的弦，要么同时与线段 $A_i P , A_{i+2k}P$ 相交，要么同时不相交，因此线段 $A_i P$ 和 $A_{i+2k}P$ 内部的交点总数是奇数，从而不会相等．
（2）对杰夫的任意一种放置青蛙的方法，一定有两只青蛙放置在相邻的 $A_i , A_{i+1}$ 上，若不然青蛙相间地放置在圆周上，但 $n$ 是偶数，这导致有某个 $i$，使得 $A_i , A_{i+n}$ 上都有青蛙，不合要求．设弦 $A_i A_{i+n}$ 与 $A_{i+1}A_{i+n+1}$ 交于点 $P$．对于其他任意一条弦，要么同时与线段 $A_i P , A_{i+1} P$ 相交，要么同时不相交，因此线段 $A_i P , A_{i+1}P$ 内部的交点个数相同，这样在某个时刻，$A_i ,A_{i+1}$ 上的青蛙就会同时落在交点 $P$ 上．
答案
解析
备注
