确定所有正整数 $n$，使得可在一张 $n\times n$ 方格表的每一小方格中填入字母 $I,M,O$ 之一，满足下列条件：
$\bullet $ 在每一行即每一列中，恰有三分之一的小方格填入字母 $I$，三分之一的小方格填入字母 $M$，三分之一的小方格填入字母 $O$；并且
$\bullet $ 在每条对角线上，若该对角线上的小方格个数是三的倍数，则恰有三分之一的小方格填入字母 $I$，三分之一的小方格填入字母 $M$，三分之一的小方格填入字母 $O$．
注：一张 $n\times n$ 方格表的行与列按自然的顺序标记为1至 $n$．由此每个小方格对应一个正整数对 $\left( i\text{,}j \right)$，其中 $1\leqslant i\text{,}j\leqslant n$ 。对 $n\geqslant1$，这张方格表有两类共计 $4n-2$ 条对角线．一条第一类对角线是由 $i+j$ 是某个常数的所有小方格 $\left( i\text{,}j \right)$ 构成，一条第二类对角线是由 $i-j$ 是某个常数的所有小方格 $\left( i\text{,}j \right)$ 构成．（澳大利亚）
$\bullet $ 在每一行即每一列中，恰有三分之一的小方格填入字母 $I$，三分之一的小方格填入字母 $M$，三分之一的小方格填入字母 $O$；并且
$\bullet $ 在每条对角线上，若该对角线上的小方格个数是三的倍数，则恰有三分之一的小方格填入字母 $I$，三分之一的小方格填入字母 $M$，三分之一的小方格填入字母 $O$．
注：一张 $n\times n$ 方格表的行与列按自然的顺序标记为1至 $n$．由此每个小方格对应一个正整数对 $\left( i\text{,}j \right)$，其中 $1\leqslant i\text{,}j\leqslant n$ 。对 $n\geqslant1$，这张方格表有两类共计 $4n-2$ 条对角线．一条第一类对角线是由 $i+j$ 是某个常数的所有小方格 $\left( i\text{,}j \right)$ 构成，一条第二类对角线是由 $i-j$ 是某个常数的所有小方格 $\left( i\text{,}j \right)$ 构成．（澳大利亚）
【难度】
【出处】
2016年第57届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
答案是所有 $9$ 的倍数．
首先，对下述 $9\times 9$ 的表格，
$
\left[ \begin{array}{lllllllll}{I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} \\ {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} \\ {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} \\ {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} \\ {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} \\ {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} \\ {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} \\ {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} \\ {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M}\end{array} \right]
$
容易直接验证满足条件．
对 $n=9k$，$k$ 是正整数，将 $n\times n$ 的方格表分成 $k^2$ 个 $9\times 9$ 的小方格表，每个小方格表按上表方式填入 $I,M,O$．$n\times n$ 的方格表的每一行，每一列，每条小方格个数是 $3$ 的倍数的对角线，与每个 $9\times 9$ 的小方格表的交分别是一行，一列，一条小方格个数是 $3$ 的倍数的对角线，或是空集，因此 $I,M,O$ 的个数相同．
下面假设在一张 $n\times n$ 方格表中存在满足要求的填写方式，我们证明 $9~|~n$．由于每行中有相同数目的 $I,M,O$，因此 $n$ 是 $3$ 的倍数．设 $n=3k$，其中 $k$ 是正整数．将这张表格分成 $k^2$ 个 $3\times 3$ 的小方格表，每个小方格表的中心方格称为关键方格，经过关键方格的线（行线，列线或对角线）均称为关键直线．考察所有对子 $(l,c)$ 构成的集合 $S$，其中 $l$ 是一条关键直线，$c$ 是填入 $M$ 的一个小方格，且 $c$ 在 $l$ 上．用两种方式来计算 $S$ 的元素个数．
一方面，在每条关键直线 $l$ 上，恰有三分之一的小方格填入了 $M$．若 $l$ 是行线或列线（共有 $k$ 条关键行线和 $k$ 条关键列线），则 $l$ 上恰有 $k$ 个方格填入 $M$．再对关键对角线计算，第一类关键对角线分别含有 $3,6,9,\ldots,3k,3k-3,\ldots,3$ 个小方格，第二类关键对角线也是相同情况，因此
$\begin{aligned}|S| =2 k \cdot k+2 \times(1+2+\ldots+k+(k-1)+\ldots+1) =2 k^{2}+2 k^{2}=4 k^{2} \end{aligned}$
另一方面，对每个填入 $M$ 的小方格 $c$，要么 $c$ 恰在一条关键直线上，要么 $c$ 恰在 $4$ 条关键直线上（这仅当 $c$ 是关键方格）．由于整张表格中有 $3k^2$ 个小方格填入 $M$，$1\equiv 4\pmod{3}$，因此
$|S|\equiv 3k^2 \pmod{3}$
从而 $4k^2 =|S|\equiv 3k^2 \pmod{3}$，这导致 $3~|~k$，从而 $9~|~n$．结论获证．
首先，对下述 $9\times 9$ 的表格，
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\left[ \begin{array}{lllllllll}{I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} \\ {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} \\ {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} \\ {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} \\ {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} \\ {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} \\ {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} \\ {M} & {M} & {M} & {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} \\ {O} & {O} & {O} & {I} & {I} & {I} & {M} & {M} & {M}\end{array} \right]
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容易直接验证满足条件．
对 $n=9k$，$k$ 是正整数，将 $n\times n$ 的方格表分成 $k^2$ 个 $9\times 9$ 的小方格表，每个小方格表按上表方式填入 $I,M,O$．$n\times n$ 的方格表的每一行，每一列，每条小方格个数是 $3$ 的倍数的对角线，与每个 $9\times 9$ 的小方格表的交分别是一行，一列，一条小方格个数是 $3$ 的倍数的对角线，或是空集，因此 $I,M,O$ 的个数相同．
下面假设在一张 $n\times n$ 方格表中存在满足要求的填写方式，我们证明 $9~|~n$．由于每行中有相同数目的 $I,M,O$，因此 $n$ 是 $3$ 的倍数．设 $n=3k$，其中 $k$ 是正整数．将这张表格分成 $k^2$ 个 $3\times 3$ 的小方格表，每个小方格表的中心方格称为关键方格，经过关键方格的线（行线，列线或对角线）均称为关键直线．考察所有对子 $(l,c)$ 构成的集合 $S$，其中 $l$ 是一条关键直线，$c$ 是填入 $M$ 的一个小方格，且 $c$ 在 $l$ 上．用两种方式来计算 $S$ 的元素个数．
一方面，在每条关键直线 $l$ 上，恰有三分之一的小方格填入了 $M$．若 $l$ 是行线或列线（共有 $k$ 条关键行线和 $k$ 条关键列线），则 $l$ 上恰有 $k$ 个方格填入 $M$．再对关键对角线计算，第一类关键对角线分别含有 $3,6,9,\ldots,3k,3k-3,\ldots,3$ 个小方格，第二类关键对角线也是相同情况，因此
$\begin{aligned}|S| =2 k \cdot k+2 \times(1+2+\ldots+k+(k-1)+\ldots+1) =2 k^{2}+2 k^{2}=4 k^{2} \end{aligned}$
另一方面，对每个填入 $M$ 的小方格 $c$，要么 $c$ 恰在一条关键直线上，要么 $c$ 恰在 $4$ 条关键直线上（这仅当 $c$ 是关键方格）．由于整张表格中有 $3k^2$ 个小方格填入 $M$，$1\equiv 4\pmod{3}$，因此
$|S|\equiv 3k^2 \pmod{3}$
从而 $4k^2 =|S|\equiv 3k^2 \pmod{3}$，这导致 $3~|~k$，从而 $9~|~n$．结论获证．
答案
解析
备注
