设 $J$ 为三角形 $ABC$ 顶点 $A$ 所对旁切圆的圆心。该旁切圆与边 $BC$ 相切于点 $M$，与直线 $AB$ 和 $AC$ 分别相切于点 $K$ 和 $L$．直线 $LM$ 和 $BJ$ 相交于点 $F$，直线 $KM$ 与 $CJ$ 相交于点 $G$．设 $S $ 是直线 $AF$ 和 $BC $ 的交点，$T$ 是直线 $AG $ 和 $BC$ 的交点．
证明：$M$ 是线段 $ST$ 的中点．（三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 所对的旁切圆是指与边 $BC$ 相切，并且与边 $AB$，$AC $ 的延长线相切的圆．）（希腊）
证明：$M$ 是线段 $ST$ 的中点．（三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 所对的旁切圆是指与边 $BC$ 相切，并且与边 $AB$，$AC $ 的延长线相切的圆．）（希腊）
【难度】
【出处】
2012年第53届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\angle CAB=\alpha,\angle ABC=\beta,\angle BCA=\gamma$．由于 $AJ$ 是 $\angle CAB$ 的角平分线，所以 $\angle JAK=\angle JAL=\dfrac{\alpha}{2}$．因为 $\angle AKJ=\angle ALJ=90^\circ$，所以点 $K$ 和 $L$ 在以 $AJ$ 为直径的圆 $\omega$ 上．
因为 $BJ$ 是 $\angle KBM$ 的角平分线，所以 $\angle MBJ=90^\circ-\dfrac{\beta}{2}$，而 $\triangle KBM$ 是等腰三角形，所以 $\angle BMK=\dfrac{\beta}{2}$．同理，$\angle MCJ=90^\circ-\dfrac{\gamma}{2},\angle CML=\dfrac{\gamma}{2}$．于是
$\angle LFJ=\angle MBJ-\angle BMF=\angle MBJ-\angle CML=\left(90^\circ-\dfrac{\beta}{2}\right)-\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{\alpha}{2}=\angle LAJ$．
所以，点 $F$ 在圆 $\omega$ 上．同理，点 $G$ 也在圆 $\omega$ 上．由于 $AJ$ 为圆 $\omega$ 的直径，故
$\angle AFJ=\angle AGJ=90^\circ$．
直线 $AB$ 与 $BC$ 是关于 $\angle ABC$ 的外角平分线 $BF$ 对称的，又因为 $AF\perp BF,KM\perp BF$，所以，线段 $SM$ 与 $AK$ 是关于 $BF$ 对称的，故 $SM=AK$，同理 $TM=AL$．
而 $AK=AL$，所以 $SM=TM$．
因为 $BJ$ 是 $\angle KBM$ 的角平分线，所以 $\angle MBJ=90^\circ-\dfrac{\beta}{2}$，而 $\triangle KBM$ 是等腰三角形，所以 $\angle BMK=\dfrac{\beta}{2}$．同理，$\angle MCJ=90^\circ-\dfrac{\gamma}{2},\angle CML=\dfrac{\gamma}{2}$．于是
$\angle LFJ=\angle MBJ-\angle BMF=\angle MBJ-\angle CML=\left(90^\circ-\dfrac{\beta}{2}\right)-\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{\alpha}{2}=\angle LAJ$．
所以，点 $F$ 在圆 $\omega$ 上．同理，点 $G$ 也在圆 $\omega$ 上．由于 $AJ$ 为圆 $\omega$ 的直径，故
$\angle AFJ=\angle AGJ=90^\circ$．
直线 $AB$ 与 $BC$ 是关于 $\angle ABC$ 的外角平分线 $BF$ 对称的，又因为 $AF\perp BF,KM\perp BF$，所以，线段 $SM$ 与 $AK$ 是关于 $BF$ 对称的，故 $SM=AK$，同理 $TM=AL$．
而 $AK=AL$，所以 $SM=TM$．
答案
解析
备注
