设 $S$ 是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上．
所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过 $S$ 中单独一点 $P$ 的一条直线 $\ell$ 开始，以 $P$ 为旋转中心顺时针旋转，直至首次遇到 $S$ 中的另一点，记为点 $Q$．接着这条直线以 $Q$ 为新的旋转中心顺时针旋转，直到再次遇到 $S$ 中的某一点，这样的过程无限持续下去．
证明：可以适当选取 $S$ 中的一点 $P$，以及过 $P$ 的一条直线 $\ell$，使得由此产生的“风车”将 $S$ 中的每一点都无限多次用作旋转中心．（英国）
所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过 $S$ 中单独一点 $P$ 的一条直线 $\ell$ 开始，以 $P$ 为旋转中心顺时针旋转，直至首次遇到 $S$ 中的另一点，记为点 $Q$．接着这条直线以 $Q$ 为新的旋转中心顺时针旋转，直到再次遇到 $S$ 中的某一点，这样的过程无限持续下去．
证明：可以适当选取 $S$ 中的一点 $P$，以及过 $P$ 的一条直线 $\ell$，使得由此产生的“风车”将 $S$ 中的每一点都无限多次用作旋转中心．（英国）
【难度】
【出处】
2011年第52届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
在直线 $l$ 上固定一个方向，从而视 $l$ 为有向直线，此方向在 $l$ 旋转时连续变动．下面先考虑 $|S|=2k+1$ 是奇数的情况．
在"风车"运行过程中，我们称 $l$ 处在一个"好位置"上，如果 $l$ 经过 $S$ 中的两点，且当 $l$ 刚离开其中一点时恰好均分 $S$ 中的点，即 $l$ 的左右两边各有 $k$ 个 $S$ 中的点．两个"好位置"认为是相同的，如果经过 $S$ 中相同两点，且 $l$ 的方向相同，否则认为是不同的"好位置"．易知在所有的"风车"中可能出现的"好位置"只有有限多个，在平面上固定一个 $x$ 轴正方向，将所有的"好位置"按从 $x$ 轴正方向顺时针转过的角度（此角度在区间 $[0,\pi)$ 中）从小到大依次记为 $l_1,l_2,\cdots,l_m$．我们分几步证明结论．
第一步：给定一个方向，至多只有一个"好位置"以此为方向．
如若不然，假设有两个"好位置" $l_i$ 与 $l_j$ 有相同方向，则它们平行但不重合，但它们的右边的点数应为 $k$ 或 $k-1$，这不能同时对 $l_i$ 和 $l_j$ 都成立．
第二步：对任意 $S$ 中一点，都存在某个 $l_i$ 经过这一点．
任取 $P\in S$，以及过 $P$ 有向直线 $l$ 其不经过 $S$ 中的其他点，设 $l$ 的右边点数为 $s$，则左边点数为 $2k-s$，两边点数之差为 $2k-2s$．现将 $l$ 以 $P$ 为旋转中心顺时针旋转，每越过一个点，$s$ 或增加 $1$ 或减少 $1$，于是 $2k-2s$ 改变 $2$．当 $l$ 转过 $180^\circ$ 后，$2k-2s$ 变为初始时的相反数，故存在某个时刻的 $l$，其左右两边的点数相同，设最后越过的一点为 $Q$，于是存在一个"好位置" $l_i$，恰过 $P$ 和 $Q$．
第三步：从一个"好位置"出发的"风车"一定满足题述要求．不妨设从 $l_1$ 出发，我们说明下一次遇到 $S$ 中的另一点时恰为 $l_2$，由此既知该"风车"遍历所有 $l_i$，且无限循环下去，再结合第二步既知 $S$ 中的每一点都被无限多次用作旋转中心．
设 $l=l_1$ 时过 $P$ 和 $Q$，接下来以 $P$ 为旋转中心，则当 $l$ 离开 $Q$ 后恰均分 $S$ 的中点，设下一个遇到的点是 $R$，则接下来以 $R$ 为旋转中心，当 $l$ 离开 $P$ 后仍然均分 $S$ 中的点，结论对 $R$ 在 $P$ 的任何一边都对．
此说明当 $l$ 下一次遇到点 $R$ 时仍是"好位置"，记为 $l^\prime$，最后只需说明不存在方向介于 $l_1$ 和 $l^\prime$ 之间的"好位置"，即 $l^\prime=l_2$．如若不然，则 $l_2$ 是方向介于 $l_1$ 和 $l^\prime$ 之间的"好位置"，过 $P$ 作与 $l_2$ 同方向的有向直线 $l^{\prime\prime}$，则 $l^{\prime\prime}$ 均分 $S$ 中的点，于是 $l_2$ 的左边或右边有至少 $k+1$ 个点，这与 $l_2$ 是处在"好位置"矛盾．结论在 $|S|$ 是奇数时被证明了．
下面设 $|S|=2k$ 是偶数，上面的证明只需作适当修改仍然适用，称 $l$ 处在一个"好位置"上，如果 $l$ 经过 $S$ 中的两点，且当 $l$ 刚离开其中一点时 $l$ 右边恰有 $S$ 中的 $k$ 个点，第一步和第二步的结论类似可证，第三步中，从一个"好位置"开始，类似可证当 $l$ 下一次遇到 $S$ 中点时仍是"好位置"．证明不存在方向介于两者之间的"好位置"与奇数情况略有区别，过 $P$ 作方向为 $l_2$ 的有向直线 $l^{\prime\prime}$，则 $l^{\prime\prime}$ 右侧恰有 $S$ 中的 $k$ 个点，若 $l_2$ 在 $l^{\prime\prime}$ 的右侧，则 $l_2$ 的右侧不超过 $k-2$ 个点，这不可能是"好位置"．若 $l_2$ 在 $l^{\prime\prime}$ 的左侧，则 $l_2$ 的右侧至少有 $k+1$ 个点，也不可能是"好位置"．结论在 $|S|$ 是偶数时也被证明了．
在"风车"运行过程中，我们称 $l$ 处在一个"好位置"上，如果 $l$ 经过 $S$ 中的两点，且当 $l$ 刚离开其中一点时恰好均分 $S$ 中的点，即 $l$ 的左右两边各有 $k$ 个 $S$ 中的点．两个"好位置"认为是相同的，如果经过 $S$ 中相同两点，且 $l$ 的方向相同，否则认为是不同的"好位置"．易知在所有的"风车"中可能出现的"好位置"只有有限多个，在平面上固定一个 $x$ 轴正方向，将所有的"好位置"按从 $x$ 轴正方向顺时针转过的角度（此角度在区间 $[0,\pi)$ 中）从小到大依次记为 $l_1,l_2,\cdots,l_m$．我们分几步证明结论．
第一步：给定一个方向，至多只有一个"好位置"以此为方向．
如若不然，假设有两个"好位置" $l_i$ 与 $l_j$ 有相同方向，则它们平行但不重合，但它们的右边的点数应为 $k$ 或 $k-1$，这不能同时对 $l_i$ 和 $l_j$ 都成立．
第二步：对任意 $S$ 中一点，都存在某个 $l_i$ 经过这一点．
任取 $P\in S$，以及过 $P$ 有向直线 $l$ 其不经过 $S$ 中的其他点，设 $l$ 的右边点数为 $s$，则左边点数为 $2k-s$，两边点数之差为 $2k-2s$．现将 $l$ 以 $P$ 为旋转中心顺时针旋转，每越过一个点，$s$ 或增加 $1$ 或减少 $1$，于是 $2k-2s$ 改变 $2$．当 $l$ 转过 $180^\circ$ 后，$2k-2s$ 变为初始时的相反数，故存在某个时刻的 $l$，其左右两边的点数相同，设最后越过的一点为 $Q$，于是存在一个"好位置" $l_i$，恰过 $P$ 和 $Q$．
第三步：从一个"好位置"出发的"风车"一定满足题述要求．不妨设从 $l_1$ 出发，我们说明下一次遇到 $S$ 中的另一点时恰为 $l_2$，由此既知该"风车"遍历所有 $l_i$，且无限循环下去，再结合第二步既知 $S$ 中的每一点都被无限多次用作旋转中心．
设 $l=l_1$ 时过 $P$ 和 $Q$，接下来以 $P$ 为旋转中心，则当 $l$ 离开 $Q$ 后恰均分 $S$ 的中点，设下一个遇到的点是 $R$，则接下来以 $R$ 为旋转中心，当 $l$ 离开 $P$ 后仍然均分 $S$ 中的点，结论对 $R$ 在 $P$ 的任何一边都对．
此说明当 $l$ 下一次遇到点 $R$ 时仍是"好位置"，记为 $l^\prime$，最后只需说明不存在方向介于 $l_1$ 和 $l^\prime$ 之间的"好位置"，即 $l^\prime=l_2$．如若不然，则 $l_2$ 是方向介于 $l_1$ 和 $l^\prime$ 之间的"好位置"，过 $P$ 作与 $l_2$ 同方向的有向直线 $l^{\prime\prime}$，则 $l^{\prime\prime}$ 均分 $S$ 中的点，于是 $l_2$ 的左边或右边有至少 $k+1$ 个点，这与 $l_2$ 是处在"好位置"矛盾．结论在 $|S|$ 是奇数时被证明了．
下面设 $|S|=2k$ 是偶数，上面的证明只需作适当修改仍然适用，称 $l$ 处在一个"好位置"上，如果 $l$ 经过 $S$ 中的两点，且当 $l$ 刚离开其中一点时 $l$ 右边恰有 $S$ 中的 $k$ 个点，第一步和第二步的结论类似可证，第三步中，从一个"好位置"开始，类似可证当 $l$ 下一次遇到 $S$ 中点时仍是"好位置"．证明不存在方向介于两者之间的"好位置"与奇数情况略有区别，过 $P$ 作方向为 $l_2$ 的有向直线 $l^{\prime\prime}$，则 $l^{\prime\prime}$ 右侧恰有 $S$ 中的 $k$ 个点，若 $l_2$ 在 $l^{\prime\prime}$ 的右侧，则 $l_2$ 的右侧不超过 $k-2$ 个点，这不可能是"好位置"．若 $l_2$ 在 $l^{\prime\prime}$ 的左侧，则 $l_2$ 的右侧至少有 $k+1$ 个点，也不可能是"好位置"．结论在 $|S|$ 是偶数时也被证明了．
答案
解析
备注
