设 $O$ 是三角形 $ABC$ 的外心．点 $P$ 和 $Q$ 分别是边 $CA$ 和 $AB$ 的内点．设 $K,L$ 和 $M$ 分别是线段 $BP,CQ$ 和 $PQ$ 的中点，$\Gamma$ 是过点 $K,L$ 和 $M$ 的圆．若直线 $PQ$ 与圆 $\Gamma$ 相切，证明：$OP=OQ$．（俄罗斯）
【难度】
【出处】
2009年第50届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然直线 $PQ$ 与圆 $\Gamma$ 相切于点 $M$，由弦切角定理知 $\angle QMK=\angle MLK$．
由于点 $K,M$ 分别是线段 $BP,PQ$ 的中点，故 $KM\parallel BQ$，故 $\angle QMK=\angle AQP$．因此 $\angle MLK=\angle AQP$，同理 $\angle MKL=\angle APQ$．因此 $\triangle MKL$ 与 $\triangle APQ$ 相似，故
$\dfrac{MK}{ML}=\dfrac{AP}{AQ}$．
由于点 $K,L$ 和 $M$ 分别是线段 $BP,CQ$ 和 $PQ$ 的中点，故
$KM=\dfrac{1}{2}=BQ,LM=\dfrac{1}{2}CP$．
代入上式得 $\dfrac{BQ}{CP}=\dfrac{AP}{AQ}$，即
$AP\cdot CP=AQ\cdot BQ$．
由圆幂定理知
$OP^2=OA^2-AP\cdot CP=OA^2-AQ\cdot BQ=OQ^2$．
因此 $OP=OQ$．证毕．
由于点 $K,M$ 分别是线段 $BP,PQ$ 的中点，故 $KM\parallel BQ$，故 $\angle QMK=\angle AQP$．因此 $\angle MLK=\angle AQP$，同理 $\angle MKL=\angle APQ$．因此 $\triangle MKL$ 与 $\triangle APQ$ 相似，故
$\dfrac{MK}{ML}=\dfrac{AP}{AQ}$．
由于点 $K,L$ 和 $M$ 分别是线段 $BP,CQ$ 和 $PQ$ 的中点，故
$KM=\dfrac{1}{2}=BQ,LM=\dfrac{1}{2}CP$．
代入上式得 $\dfrac{BQ}{CP}=\dfrac{AP}{AQ}$，即
$AP\cdot CP=AQ\cdot BQ$．
由圆幂定理知
$OP^2=OA^2-AP\cdot CP=OA^2-AQ\cdot BQ=OQ^2$．
因此 $OP=OQ$．证毕．
答案
解析
备注
