已知 $H$ 是锐角三角形 $ABC$ 的垂心，以边 $BC$ 的中点为圆心，过点 $H$ 的圆与直线 $BC$ 相交于两点 $A_{1},A_{2}$；以边 $CA$ 的中点为圆心，过点 $H$ 的圆与直线 $CA$ 相交于两点 $B_{1},B_{2}$；以边 $AB$ 的中点为圆心，过点 $H$ 的圆与直线 $AB$ 相交于两点 $C_{1},C_{2}$．证明：六点 $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ 共圆．（俄罗斯）
【难度】
【出处】
2008年第49届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
$B_0,C_0$ 分别是边 $CA,AB$ 的中点．设以边 $B_0$ 为圆心，过点 $H$ 的圆与以 $C_0$ 为圆心，过点 $H$ 的圆的另一个交点为 $A^\prime$，则 $A^\prime H\perp C_0B_0$．由于 $B_0,C_0$ 分别是边 $CA,AB$ 的中点，所以 $C_0B_0\parallel BC$，从而 $A^\prime H\perp BC$，于是点 $A^\prime$ 在 $AH$ 上．
由切割线定理：
$AC_1\cdot AC_2=AA^\prime \cdot AH=AB_1\cdot AB_2$
所以，$B_1,B_2,C_1,C_2$ 四点共圆．
分别作 $B_1B_2,C_1C_2$ 的垂直平分线，设它们相交于点 $O$，则 $O$ 是四边形 $B_1B_2C_1C_2$ 的外接圆圆心，也是 $\triangle ABC$ 的外心，且 $OB_1=OB_2=OC_1=OC_2$．
同理可得，$OA_1=OA_2=OB_1=OB_2$，所以，$A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ 六点都是在以 $O$ 为圆心，$OA_1$ 为半径的圆上，故六点 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ 共圆．
证明二
设三角形 $ABC$ 的外心为 $O,D,E,F$ 分别是边 $BC,CA,AB$ 上的中点，连接 $DF$，交 $BH$ 于点 $P$，则 $BH\perp DF$，于是由勾股定理得
$BF^2-FH^2=BP^2-PH^2=BD^2-DH^2$ ①
$BO^2-A_1O^2=BD^2-A_1D^2=BD^2-DH^2$ ②
同理可得 $BO^2-C_2O^2=BF^2-FH^2$ ③
所以，由 ①，②，③ 可得，$A_1O=C_2O$．
易知 $A_1O=A_2O,C_1O=C_2O$，故 $A_1O=A_2O=C_1O=C_2O$．
同理，$A_1O=A_2O=B_1O=B_2O$，所以，六点 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ 在以 $O$ 为圆心的圆上．
$B_0,C_0$ 分别是边 $CA,AB$ 的中点．设以边 $B_0$ 为圆心，过点 $H$ 的圆与以 $C_0$ 为圆心，过点 $H$ 的圆的另一个交点为 $A^\prime$，则 $A^\prime H\perp C_0B_0$．由于 $B_0,C_0$ 分别是边 $CA,AB$ 的中点，所以 $C_0B_0\parallel BC$，从而 $A^\prime H\perp BC$，于是点 $A^\prime$ 在 $AH$ 上．
由切割线定理：
$AC_1\cdot AC_2=AA^\prime \cdot AH=AB_1\cdot AB_2$
所以，$B_1,B_2,C_1,C_2$ 四点共圆．
分别作 $B_1B_2,C_1C_2$ 的垂直平分线，设它们相交于点 $O$，则 $O$ 是四边形 $B_1B_2C_1C_2$ 的外接圆圆心，也是 $\triangle ABC$ 的外心，且 $OB_1=OB_2=OC_1=OC_2$．
同理可得，$OA_1=OA_2=OB_1=OB_2$，所以，$A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ 六点都是在以 $O$ 为圆心，$OA_1$ 为半径的圆上，故六点 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ 共圆．
证明二
设三角形 $ABC$ 的外心为 $O,D,E,F$ 分别是边 $BC,CA,AB$ 上的中点，连接 $DF$，交 $BH$ 于点 $P$，则 $BH\perp DF$，于是由勾股定理得
$BF^2-FH^2=BP^2-PH^2=BD^2-DH^2$ ①
$BO^2-A_1O^2=BD^2-A_1D^2=BD^2-DH^2$ ②
同理可得 $BO^2-C_2O^2=BF^2-FH^2$ ③
所以，由 ①，②，③ 可得，$A_1O=C_2O$．
易知 $A_1O=A_2O,C_1O=C_2O$，故 $A_1O=A_2O=C_1O=C_2O$．
同理，$A_1O=A_2O=B_1O=B_2O$，所以，六点 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ 在以 $O$ 为圆心的圆上．
答案
解析
备注
