设 $A,B,C,D,E$ 五点中，$ABCD$ 是一个平行四边形，$BCED$ 是一个圆内接四边形．设 $\ell$ 是通过 $A$ 的一条直线，$\ell$ 与线段 $DC$ 交于点 $F$（$F$ 是线段 $DC$ 的内点），且 $\ell$ 与直线 $BC$ 交于点 $G$．若 $EF=EG=EC$，求证：$\ell$ 是 $\angle DAB$ 的角平分线．（卢森堡）
【难度】
【出处】
2007年第48届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，作等腰 $\triangle ECF$ 和等腰 $\triangle EGC$ 的高 $EK$ 和 $EL$．
由条件易知 $\triangle ADF\sim\triangle GCF$，因此
$\begin{aligned}\frac{AD}{GC}&=\frac{DF}{CF}\Rightarrow \frac{BC}{CG}=\frac{DF}{CF}\\
&\Rightarrow \frac{BC}{CL}=\frac{DF}{CK}\\
&\Rightarrow\frac{BC+CL}{CL}=\frac{DF+FK}{CK}\\
&\Rightarrow \frac{BL}{CL}=\frac{DK}{CK}\Rightarrow \frac{BL}{DK}=\frac{CL}{CK}\end{aligned}$ ①
又由 $\angle LBE=\angle EDK$ 知 $\mathrm{Rt}\triangle BLE\sim\mathrm{Rt}\triangle DKE$，所以
$\dfrac{BL}{DK}=\dfrac{EL}{EK}$ ②
由 ①② 知 $\dfrac{CL}{CK}=\dfrac{EL}{EK}$，这意味着 $\triangle CLE\sim\triangle CKE$，所以 $\dfrac{CL}{CK}=\dfrac{CE}{CE}=1$，因此 $CL=CK\Rightarrow CG=CF$．
故 $\angle BAG=\angle GAD$，结论得证．
由条件易知 $\triangle ADF\sim\triangle GCF$，因此$\begin{aligned}\frac{AD}{GC}&=\frac{DF}{CF}\Rightarrow \frac{BC}{CG}=\frac{DF}{CF}\\
&\Rightarrow \frac{BC}{CL}=\frac{DF}{CK}\\
&\Rightarrow\frac{BC+CL}{CL}=\frac{DF+FK}{CK}\\
&\Rightarrow \frac{BL}{CL}=\frac{DK}{CK}\Rightarrow \frac{BL}{DK}=\frac{CL}{CK}\end{aligned}$ ①
又由 $\angle LBE=\angle EDK$ 知 $\mathrm{Rt}\triangle BLE\sim\mathrm{Rt}\triangle DKE$，所以
$\dfrac{BL}{DK}=\dfrac{EL}{EK}$ ②
由 ①② 知 $\dfrac{CL}{CK}=\dfrac{EL}{EK}$，这意味着 $\triangle CLE\sim\triangle CKE$，所以 $\dfrac{CL}{CK}=\dfrac{CE}{CE}=1$，因此 $CL=CK\Rightarrow CG=CF$．
故 $\angle BAG=\angle GAD$，结论得证．
答案
解析
备注
