设 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$P$ 是 $\triangle ABC$ 内部的一点，满足 $\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB$
证明：$AP\geqslant AI$，并说明等号成立的充分必要条件是 $P=I$．（韩国）
证明：$AP\geqslant AI$，并说明等号成立的充分必要条件是 $P=I$．（韩国）
【难度】
【出处】
2006年第47届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\angle A=\alpha,\angle B=\beta,\angle C=\gamma$．由于
$\angle PBA+\angle PCA+\angle PBC+\angle PCB=\beta+\gamma$
由假设，$\angle PBC+\angle PCB=\dfrac{\beta+\gamma}{2}$．由于 $P,I$ 位于 $BC$ 的同一边，点 $B,C,I,P$ 四点共圆，即 $P$ 点在 $\triangle BCI$ 的外接圆 $\omega$ 上．记 $\Omega$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆，则 $\omega$ 的中心 $M$ 为 $\Omega$ 的弧 $BC$ 的中点，即为 $\angle A$ 的平分线 $AI$ 与 $\Omega$ 的交点．由于 $\triangle APM$，有 $AP+PM\geqslant AM=AI+IM=AI+PM$，故 $AP\geqslant AI$．等号成立的充分必要条件是 $P$ 位于线段 $AI$ 上，即 $P=I$．
$\angle PBA+\angle PCA+\angle PBC+\angle PCB=\beta+\gamma$
由假设，$\angle PBC+\angle PCB=\dfrac{\beta+\gamma}{2}$．由于 $P,I$ 位于 $BC$ 的同一边，点 $B,C,I,P$ 四点共圆，即 $P$ 点在 $\triangle BCI$ 的外接圆 $\omega$ 上．记 $\Omega$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆，则 $\omega$ 的中心 $M$ 为 $\Omega$ 的弧 $BC$ 的中点，即为 $\angle A$ 的平分线 $AI$ 与 $\Omega$ 的交点．由于 $\triangle APM$，有 $AP+PM\geqslant AM=AI+IM=AI+PM$，故 $AP\geqslant AI$．等号成立的充分必要条件是 $P$ 位于线段 $AI$ 上，即 $P=I$．
答案
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备注
