已知 三角形 $ABC$ 为锐角三角形，$AB≠AC$，以 $BC$ 直径为的圆分别交边 $AB$ 和 $AC$ 分别于 $M$ 和 $N$．记 $BC$ 的中点为边 $O$，$\angle BAC$ 的平分线和 $\angle MON$ 的平分线交于 $R$．求证：三角形 $BMR$ 的外接圆和三角形 $CNR$ 的外接圆有一个交点在边 $BC$ 上．（罗马尼亚）
【难度】
【出处】
2004年第45届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先证 $A,M,R,N$ 共圆．因为 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，故 $M,N$ 分别在线段 $AB,AC$ 内．在射线 $AR$ 上取点一点 $R_1$，使 $A,M,R_1,N$ 共圆．因为 $AR_1$ 平分 $\angle BAC$，故 $R_1M=R_1N$．而点 $M,N$ 在以 $O$ 为圆心的圆上，故 $OM=ON$．由 $OM=ON,R_1M=R_1N$ 知点 $R_1$ 在 $\angle MON$ 的平分线上，而 $AB\ne AC$，则 $\angle MON$ 的平分线与 $\angle BAC$ 的平分线不重合，不平行，有唯一交点 $R$，从而 $R_1=R$，即 $A,M,R,N$ 共圆．
其次，设 $AR$ 的延长线交 $BC$ 于 $K$，则 $K$ 在 $BC$ 边上．因为 $B,C,N,M$ 共圆，故 $\angle MBC=\angle ANM$．又因为 $A,M,R,N$ 共圆，故 $\angle ANM=\angle MRA$．
同理可证 $C,N,R,K$ 共圆．
证毕．
其次，设 $AR$ 的延长线交 $BC$ 于 $K$，则 $K$ 在 $BC$ 边上．因为 $B,C,N,M$ 共圆，故 $\angle MBC=\angle ANM$．又因为 $A,M,R,N$ 共圆，故 $\angle ANM=\angle MRA$．
同理可证 $C,N,R,K$ 共圆．
证毕．
答案
解析
备注
