题目 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}t+\dfrac{y^2}3=1$ 的焦点在 $x$ 轴上，$A$ 是 $E$ 的左顶点，斜率为 $k$（$k>0$）的直线交 $E$ 于 $A,M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$MA\perp NA$． 问题1 当 $t=4$，$|AM|=|AN|$ 时，求 $\triangle AMN$ 的面积； 答案1 $\dfrac{144}{49}$ 解析1 根据题意画出示意图如图．<img src="/static/images/85eb914840f4df0a325f0e03b6afc60b.png" class="img-responsive" />当 $|AM|=|AN|$ 时，$\triangle MAN$ 是等腰直角三角形．根据椭圆的对称性，可知 $k=1$，又 $t=4$ 时，$A$ 点的坐标为 $(-2,0)$，因此直线 $AM$ 的方程为 $x=y-2$，与椭圆 $E$ 的方程联立，可得 $y\left(\dfrac{7}{12}y-1\right)=0,$ 于是点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac{12}7$，进而可得 $\triangle AMN$ 的面积 $S=\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{144}{49}.$ 备注1 问题2 当 $2|AM|=|AN|$ 时，求 $k$ 的取值范围． 答案2 $\left(\sqrt[3]2,2\right)$ 解析2 记 $a=\sqrt t$，$m=\dfrac 1k$（$m>0$），则直线 $AM$ 的方程为 $x=my-a$，与椭圆 $E$ 的方程联立可得 $\left(\dfrac {m^2}{a^2}+\dfrac 13\right)y^2-\dfrac{2m}ay=0,$ 从而点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac{6ma}{3m^2+a^2}$，因此点 $N$ 的纵坐标为 $\dfrac{-\dfrac{6a}m}{\dfrac{3}{m^2}+a^2}=\dfrac{-6ma}{3+m^2a^2},$ 因此由 $2|AM|=|AN|$ 可得 $2\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot\dfrac{6ma}{3m^2+a^2}=\sqrt{1+\dfrac{1}{m^2}}\cdot \dfrac{6ma}{3+m^2a^2},$ 整理得 $a^2=\dfrac{3(m^2-2m)}{2m^3-1},$ 根据题意，有 $a^2>3$，因此 $\dfrac{3(m^2-2m)}{2m^3-1}>3,$ 解得 $\dfrac 12<m<\sqrt[3]{\dfrac 12},$ 因此 $k$ 的取值范围是 $\left(\sqrt[3]2,2\right)$． 备注2